(5.) Quais são os valores de aderência da seqüência \left(x_{n}\right) tal que x_{2 n-1}= n e x_{2 n}=1 / n ? Esta seqüência converge?

Passo 1

O enunciado define a sequência \bigl(x_{n}\bigr) por
x_{2n-1} = n \quad\text{e}\quad x_{2n} = \frac{1}{n},
e pede os valores de aderência (ou seja, todos os limites de subsequências) e se a sequência converge. Vamos usar conceitos de subsequência, limite e valor de aderência.

Passo 2

Separamos em duas subsequências naturais: a dos termos de índice ímpar e a dos termos de índice par. Para n=1,2,3,\dots,
\text{ímpar: }x_{2n-1}=n, \quad \text{par: }x_{2n}=\frac{1}{n}.í

Passo 3

Analisamos os limites de cada subsequência.
Para a parte par, ao fazer n\to\infty temos
\lim_{n\to\infty}x_{2n} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} =0.
Para a parte ímpar,
\lim_{n\to\infty}x_{2n-1} =\lim_{n\to\infty}n =+\infty,
ou seja, essa subsequência diverge (não tem limite finito).

Passo 4

Por definição, um valor de aderência em \mathbb{R} é um número real L tal que existe uma subsequência convergente a L. A única subsequência que converge a um número real é a dos índices pares, cujo limite é 0. A subsequência ímpar não produz nenhum outro limite finito. Logo o único valor de aderência é
\{0\}.

Passo 5

Como há duas subsequências com limites distintos ( 0 e +\infty), a sequência original não pode ter um único limite em \mathbb{R}. Portanto, ela não converge.

Resposta

O conjunto de valores de aderência é \{0\}.
A sequência não converge.

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