(5.) Quais são os valores de aderência da seqüência
tal que
e
? Esta seqüência converge?
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede os valores de aderência (ou seja, todos os limites de subsequências) e se a sequência converge. Vamos usar conceitos de subsequência, limite e valor de aderência.
Passo 2
Separamos em duas subsequências naturais: a dos termos de índice ímpar e a dos termos de índice par. Para
,
Passo 3
Analisamos os limites de cada subsequência.
Para a parte par, ao fazer temos
Para a parte par, ao fazer
Para a parte ímpar,
ou seja, essa subsequência diverge (não tem limite finito).
Passo 4
Por definição, um valor de aderência em
é um número real
tal que existe uma subsequência convergente a
. A única subsequência que converge a um número real é a dos índices pares, cujo limite é
. A subsequência ímpar não produz nenhum outro limite finito. Logo o único valor de aderência é
Passo 5
Como há duas subsequências com limites distintos (
e
), a sequência original não pode ter um único limite em
. Portanto, ela não converge.
Resposta
O conjunto de valores de aderência é
.
A sequência não converge.
A sequência não converge.