Prove, usando o Princípio de Indução Finita, que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que
para todo
usando o Princípio de Indução Finita. O conteúdo envolvido aqui é a indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar afirmações que valem para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar verificar dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de
, que nesse caso é
.
Calculando:
Então, a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número
, ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. A ideia é usar essa hipótese para provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos provar que
.
Sabemos que:
Pela hipótese de indução, sabemos que
, então:
Agora, precisamos mostrar que
para
.
Para
:
Como
,
, então a desigualdade é verdadeira.
Portanto:
O que mostra que
.
Resposta
Pelo Princípio de Indução Finita, comprovamos que
para todo
.