Prove, utilizando a definição que:
\lim _{n \rightarrow+\infty}(n+1)^{2}=+\infty.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{n\to+\infty}(n+1)^{2}=+\infty.
Informações dadas: a sequência é a_{n}=(n+1)^{2} definida para n\in\mathbb{N}. A tarefa é mostrar, usando a definição de limite que diverge para +\infty, que os termos a_{n} ficam arbitrariamente grandes quando n cresce.

Passo 2

Vou escrever com clareza a definição que vou usar (essa é a definição de divergência para +\infty):
\lim_{n\to+\infty} a_n = +\infty
significa que
\text{para todo } M>0\;\text{existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que, para todo }n\ge N,\;a_n>M.
Aqui M é qualquer número real positivo que eu escolher (um “patamar” que quero ultrapassar), N é um índice natural que depende de M, e a condição é que todos os termos a partir de N sejam maiores que M.

Passo 3

Começamos a demonstração propriamente dita. Seja dado um M>0 arbitrário. Queremos encontrar um N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
(n+1)^{2}>M.
Resolvendo a desigualdade em termos de n, como n+1>0 para todo n\in\mathbb{N}, podemos tirar raiz quadrada dos dois lados (a função x\mapsto x^{2} é estritamente crescente em [0,\infty)), obtendo a equivalência
(n+1)^{2}>M\quad\Longleftrightarrow\quad n+1>\sqrt{M}.
Agora vamos escolher um N inteiro que garanta n+1>\sqrt{M} sempre que n\ge N. Tome
N=\lfloor \sqrt{M}\rfloor,
onde \lfloor \sqrt{M}\rfloor é a parte inteira (piso) de \sqrt{M}. Pelas propriedades do piso temos
\lfloor \sqrt{M}\rfloor \le \sqrt{M} < \lfloor \sqrt{M}\rfloor+1,
ou seja,
\lfloor \sqrt{M}\rfloor+1>\sqrt{M}.

Passo 4

Agora verifique a condição: para qualquer n\ge N=\lfloor \sqrt{M}\rfloor temos
n+1 \ge N+1 = \lfloor \sqrt{M}\rfloor+1 > \sqrt{M},
portanto, usando a equivalência do Passo 3,
(n+1)^{2} > M.
Assim, para o M>0 arbitrário escolhido exibimos um N\in\mathbb{N} (especificamente N=\lfloor \sqrt{M}\rfloor) que satisfaz a condição da definição: para todo n\ge N temos (n+1)^{2}>M.
Como isso vale para todo M>0, concluímos, pela definição, que
\lim_{n\to+\infty}(n+1)^{2}=+\infty.

Resposta

+\infty

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