Prove, utilizando a definição que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Informações dadas: a sequência é
definida para
. A tarefa é mostrar, usando a definição de limite que diverge para
, que os termos
ficam arbitrariamente grandes quando
cresce.
Passo 2
Vou escrever com clareza a definição que vou usar (essa é a definição de divergência para
):
significa que
Aqui
é qualquer número real positivo que eu escolher (um “patamar” que quero ultrapassar),
é um índice natural que depende de
, e a condição é que todos os termos a partir de
sejam maiores que
.
Passo 3
Começamos a demonstração propriamente dita. Seja dado um
arbitrário. Queremos encontrar um
tal que, para todo
,
Resolvendo a desigualdade em termos de
, como
para todo
, podemos tirar raiz quadrada dos dois lados (a função
é estritamente crescente em
), obtendo a equivalência
Agora vamos escolher um
inteiro que garanta
sempre que
. Tome
onde
é a parte inteira (piso) de
. Pelas propriedades do piso temos
ou seja,
Passo 4
Agora verifique a condição: para qualquer
temos
portanto, usando a equivalência do Passo 3,
Assim, para o
arbitrário escolhido exibimos um
(especificamente
) que satisfaz a condição da definição: para todo
temos
.
Como isso vale para todo
, concluímos, pela definição, que