Questão 4: A produção de trigo em um determinado ano W depende da temperatura média T e da quantidade anual de chuva R. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de 0,15^{\circ} \mathrm{C} / ano , e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de 0,1 \mathrm{~cm} / ano . Eles também estimam que, no corrente nível de produção, \frac{\partial W}{\partial T}=-2 e \frac{\partial W}{\partial R}=8.
a) Qual é o significado do sinal destas derivadas parciais?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo de \frac{d W}{d t}.

Passo 1

Perguntas do enunciado:
a) Qual é o significado do sinal das derivadas parciais fornecidas?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo \dfrac{dW}{dt}.
Informações dadas (vou listar exatamente o que o enunciado forneceu):
\dfrac{\partial W}{\partial T} = -2.
\dfrac{\partial W}{\partial R} = 8.
\dfrac{dT}{dt} = 0,15^\circ\mathrm{C}/\text{ano}.
\dfrac{dR}{dt} = -0,1\\ \text{cm}/\text{ano}.

Passo 2

O que significa uma derivada parcial? Vou explicar devagar e com exemplo pequeno.
Se W depende de T e R, a derivada parcial \dfrac{\partial W}{\partial T} mede a taxa de variação de W quando só T muda e R é mantido fixo (pequenas variações). Analogamente, \dfrac{\partial W}{\partial R} mede a taxa de variação de W quando só R muda e T é mantido fixo.
Interpretação dos sinais (usando isso):
  • \dfrac{\partial W}{\partial T} = -2 significa que, mantendo R constante, um aumento de 1^\circ\mathrm{C} em T reduz W em 2 unidades de produção (ou seja, W decresce quando T aumenta). Exemplo concreto: se T sobe 1^\circ\mathrm{C} e R não muda, então \Delta W \approx -2.
  • \dfrac{\partial W}{\partial R} = 8 significa que, mantendo T constante, um aumento de 1\\ \text{cm} em R aumenta W em 8 unidades de produção (ou seja, W é favorável a mais chuva).

Passo 3

Como obter a taxa total \dfrac{dW}{dt} quando T e R mudam com o tempo?
Se W depende de T(t) e R(t), a regra da cadeia dá a derivada total:
\frac{dW}{dt}=\frac{\partial W}{\partial T}\frac{dT}{dt}+\frac{\partial W}{\partial R}\frac{dR}{dt}.
Explicando cada termo: \dfrac{\partial W}{\partial T} diz quanto W muda por unidade de T (com R fixo), e multiplicamos por \dfrac{dT}{dt}, que é a velocidade com que T está mudando no tempo — assim obtemos a contribuição de T para a variação total de W. Mesmo raciocínio para o termo com R.

Passo 4

Agora plugamos os valores numéricos dados. Primeiro as contribuições separadas:
\text{contribuição de }T: \quad \frac{\partial W}{\partial T}\frac{dT}{dt} = (-2)\cdot(0,15) = -0,30.çã
\text{contribuição de }R: \quad \frac{\partial W}{\partial R}\frac{dR}{dt} = 8\cdot(-0,1) = -0,80.çã
Somando as contribuições:
\frac{dW}{dt} = -0,30 + (-0,80) = -1,10.
Interpretação final: a produção de trigo está diminuindo no momento a uma taxa de 1{,}10 unidades de produção por ano (como o enunciado não deu unidade específica para W, eu digo “unidades de produção por ano”).

Resposta

a) \dfrac{\partial W}{\partial T}=-2 significa que, mantendo R fixo, um aumento de 1^\circ\mathrm{C} em T reduz W em 2 unidades; \dfrac{\partial W}{\partial R}=8 significa que, mantendo T fixo, um aumento de 1\\ \text{cm} em R aumenta W em 8 unidades.
b) \dfrac{dW}{dt} = -1{,}10 unidades de produção por ano.

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