Questão 4: A produção de trigo em um determinado ano
depende da temperatura média
e da quantidade anual de chuva
. Cientistas estimam que a temperatura média anual está crescendo à taxa de
ano , e a quantidade anual de chuva está decrescendo à taxa de
ano . Eles também estimam que, no corrente nível de produção,
e
.
a) Qual é o significado do sinal destas derivadas parciais?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo de
.
a) Qual é o significado do sinal destas derivadas parciais?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo de
Passo 1
Perguntas do enunciado:
a) Qual é o significado do sinal das derivadas parciais fornecidas?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo .
a) Qual é o significado do sinal das derivadas parciais fornecidas?
b) Estime a taxa de variação corrente da produção de trigo
Informações dadas (vou listar exatamente o que o enunciado forneceu):
.
.
.
.
Passo 2
O que significa uma derivada parcial? Vou explicar devagar e com exemplo pequeno.
Se depende de
e
, a derivada parcial
mede a taxa de variação de
quando só
muda e
é mantido fixo (pequenas variações). Analogamente,
mede a taxa de variação de
quando só
muda e
é mantido fixo.
Se
Interpretação dos sinais (usando isso):
-
significa que, mantendo constante, um aumento de em reduz em unidades de produção (ou seja, decresce quando aumenta). Exemplo concreto: se sobe e não muda, então . -
significa que, mantendo constante, um aumento de em aumenta em unidades de produção (ou seja, é favorável a mais chuva).
Passo 3
Como obter a taxa total
quando
e
mudam com o tempo?
Se depende de
e
, a regra da cadeia dá a derivada total:
Se
Explicando cada termo:
diz quanto
muda por unidade de
(com
fixo), e multiplicamos por
, que é a velocidade com que
está mudando no tempo — assim obtemos a contribuição de
para a variação total de
. Mesmo raciocínio para o termo com
.
Passo 4
Agora plugamos os valores numéricos dados. Primeiro as contribuições separadas:
Somando as contribuições:
Interpretação final: a produção de trigo está diminuindo no momento a uma taxa de
unidades de produção por ano (como o enunciado não deu unidade específica para
, eu digo “unidades de produção por ano”).
Resposta
a)
significa que, mantendo
fixo, um aumento de
em
reduz
em
unidades;
significa que, mantendo
fixo, um aumento de
em
aumenta
em
unidades.
b) unidades de produção por ano.
b)