Dada F(s)=\mathscr{L}(f), obtenha f(t). Mostre os detalhes do que fizer. (L, n, k, a, b são constantes.)
\frac{s^{4}-3 s^{2}+12}{s^{5}}\

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace F(s)=\mathscr{L}\{f\} igual a
F(s)=\frac{s^{4}-3 s^{2}+12}{s^{5}}.
A tarefa é encontrar a função original f(t) tal que \mathscr{L}\{f\}=F.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de F(s) (numerador e denominador) e que L,n,k,a,b são constantes (não precisamos de valores específicos aqui). Não há mais dados ocultos nem figura — só essa expressão racional em s.

Passo 2

Princípio que vamos usar: linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que, se \mathscr{L}\{g\}=G e \mathscr{L}\{h\}=H, então para constantes A,B temos
\mathscr{L}\{A g + B h\} = A G + B H.
Consequência prática: podemos decompor F(s) em soma de termos simples e inverter cada um separadamente. Isso é útil porque conhecemos inversas padrão como potências de 1/s.

Passo 3

Fórmula básica e derivação curta (aulas curtas são boas!): para inteiro não-negativo n,
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-s t}\,dt.
Fazendo a substituição u=s t (ou seja t=u/s e dt=du/s) obtemos
\mathscr{L}\{t^{n}\}=s^{-(n+1)}\int_{0}^{\infty} u^{n} e^{-u}\,du = s^{-(n+1)}\Gamma(n+1).
Como \Gamma(n+1)=n! quando n é inteiro, fica
\mathscr{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}.
Invertendo essa relação (colocando m=n+1) obtemos a fórmula direta para inversa:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{m}}\right\}=\frac{t^{m-1}}{(m-1)!},
onde m é inteiro positivo. Essa é a ferramenta-chave.

Passo 4

Agora escrevo F(s) como soma de termos do tipo 1/s^{m}. Faço a divisão termo a termo do numerador pelo denominador:
\frac{s^{4}-3 s^{2}+12}{s^{5}}=\frac{s^{4}}{s^{5}}-\frac{3 s^{2}}{s^{5}}+\frac{12}{s^{5}}.
Simplificando as potências de s,
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{3}{s^{3}}+\frac{12}{s^{5}}.

Passo 5

Aplico a inversa termo a termo usando a fórmula do passo 3.
Para o primeiro termo:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,
pois corresponde a m=1 e \dfrac{t^{0}}{0!}=1.
Para o segundo termo:
\mathscr{L}^{-1}\left\{-\frac{3}{s^{3}}\right\}=-3\cdot\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{3}}\right\}=-3\cdot\frac{t^{2}}{2!}=-3\cdot\frac{t^{2}}{2}.
Para o terceiro termo:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{12}{s^{5}}\right\}=12\cdot\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^{5}}\right\}=12\cdot\frac{t^{4}}{4!}=12\cdot\frac{t^{4}}{24}.

Passo 6

Simplifico os coeficientes numéricos obtidos no passo anterior.
Temos
-3\cdot\frac{t^{2}}{2}=-\frac{3}{2}t^{2},
e
12\cdot\frac{t^{4}}{24}=\frac{12}{24}t^{4}=\frac{1}{2}t^{4}.
Somando todos os termos (lembre da linearidade),
f(t)=1-\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2}t^{4}.

Passo 7

Verificação rápida (mental, para confiar no resultado): calculando a transformada direta de cada termo:
\mathscr{L}\{1\}=\frac{1}{s},\quad \mathscr{L}\left\{-\frac{3}{2}t^{2}\right\}=-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{s^{3}}=-\frac{3}{s^{3}},\quad \mathscr{L}\left\{\frac{1}{2}t^{4}\right\}=\frac{1}{2}\cdot\frac{24}{s^{5}}=\frac{12}{s^{5}}.
Somando: \dfrac{1}{s}-\dfrac{3}{s^{3}}+\dfrac{12}{s^{5}}, que é exatamente F(s). Tudo bate certinho — bom trabalho!

Resposta

\displaystyle f(t)=1-\frac{3}{2}t^{2}+\frac{1}{2}t^{4}

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