Dada
, obtenha
. Mostre os detalhes do que fizer.
,
são constantes.)
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Laplace
igual a
A tarefa é encontrar a função original
tal que
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de (numerador e denominador) e que
são constantes (não precisamos de valores específicos aqui). Não há mais dados ocultos nem figura — só essa expressão racional em
.
Informações relevantes fornecidas: a expressão de
Passo 2
Princípio que vamos usar: linearidade da transformada de Laplace. Isso significa que, se
e
, então para constantes
temos
Consequência prática: podemos decompor
em soma de termos simples e inverter cada um separadamente. Isso é útil porque conhecemos inversas padrão como potências de
.
Passo 3
Fórmula básica e derivação curta (aulas curtas são boas!): para inteiro não-negativo
,
Fazendo a substituição
(ou seja
e
) obtemos
Como
quando
é inteiro, fica
Invertendo essa relação (colocando
) obtemos a fórmula direta para inversa:
onde
é inteiro positivo. Essa é a ferramenta-chave.
Passo 4
Agora escrevo
como soma de termos do tipo
. Faço a divisão termo a termo do numerador pelo denominador:
Simplificando as potências de
,
Passo 5
Aplico a inversa termo a termo usando a fórmula do passo 3.
Para o primeiro termo:
pois corresponde a
e
.
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Passo 6
Simplifico os coeficientes numéricos obtidos no passo anterior.
Temos
e
Somando todos os termos (lembre da linearidade),
Passo 7
Verificação rápida (mental, para confiar no resultado): calculando a transformada direta de cada termo:
Somando:
, que é exatamente
. Tudo bate certinho — bom trabalho!