1. Prove a validade do argumento usando dedução natural:
A \rightarrow B, B \rightarrow C \vdash A \rightarrow C

Passo 1

O enunciado nos dá as premissas \;A \to B\; e \;B \to C\; e pede para provar \;A \to C\; usando dedução natural. Vamos precisar das regras de eliminação do condicional ( \to-elim, também chamado modus ponens) e introdução do condicional ( \to-intro), além da estratégia de assumir temporariamente o antecedente A para derivar o consequente C.

Passo 2

Suponha \;A\; como hipótese temporária. Essa suposição servirá para, ao final, aplicarmos \to-intro e obtermos \;A \to C\;.

Passo 3

De \;A\; (suposição) e de \;A \to B\; (premissa), aplicamos \to-elim para derivar B.

Passo 4

De \;B\; e de \;B \to C\; (premissa), aplicamos \to-elim para derivar C.

Passo 5

Como obtivemos \;C\; a partir da suposição \;A\;, podemos descartar essa suposição e aplicar \to-intro, concluindo A \to C.

Resposta

1 \;A \to B\; Premissa
2 \;B \to C\; Premissa
3 [ \;A\;] Suposição
4 \;B\; 1, 3 \to-elim
5 \;C\; 2, 4 \to-elim
6 \;A \to C\; 3–5 \to-intro

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