1. Complete a prova formal da validade \vdash \mathrm{P} \rightarrow \mathrm{P} com o sistema axiomático A , adicionando as justificativas para todas as listas:
  2. P \rightarrow(P \rightarrow P)
  3. P \rightarrow((P \rightarrow P) \rightarrow P)
  4. (P \rightarrow((P \rightarrow P) \rightarrow P)) \rightarrow((P \rightarrow(P \rightarrow P)) \rightarrow(P \rightarrow P))
  5. (P \rightarrow(P \rightarrow P)) \rightarrow(P \rightarrow P)
  6. P \rightarrow P

Passo 1

Queremos provar formalmente que \vdash P \rightarrow P
no sistema axiomático A, cujos esquemas de axioma relevantes são
A1: A \rightarrow (B \rightarrow A)
A2: (A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow ((A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C))
e a única regra de inferência é o modus ponens (MP).

Passo 2

Aplicando o esquema A1 com A = P e B = P, obtemos a instância
P \rightarrow (P \rightarrow P)
Justificativa: axioma A1.

Passo 3

Aplicando o esquema A1 com A = P e B = (P \rightarrow P), obtemos
P \rightarrow \bigl((P \rightarrow P) \rightarrow P\bigr)
Justificativa: axioma A1.

Passo 4

Aplicando o esquema A2 com A = P, B = (P \rightarrow P) e C = P, obtemos
\bigl(P \rightarrow ((P \rightarrow P) \rightarrow P)\bigr)\;\rightarrow\;\bigl((P \rightarrow (P \rightarrow P)) \rightarrow (P \rightarrow P)\bigr)
Justificativa: axioma A2.

Passo 5

Das fórmulas dos Passos 3 e 4, por modus ponens, inferimos
(P \rightarrow (P \rightarrow P)) \rightarrow (P \rightarrow P)
Justificativa: MP em 3 e 4.

Passo 6

Das fórmulas dos Passos 2 e 5, por modus ponens, inferimos P \rightarrow P
Justificativa: MP em 2 e 5.

Resposta

\vdash P \rightarrow P

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