1. Prove a validade com o sistema axiomático A , convertendo a fórmula antes:
A \wedge B \rightarrow B \wedge A

Passo 1

O enunciado pede para provar no sistema axiomático A a validade da fórmula
A\wedge B\to B\wedge A
sabendo que, nesse sistema, os conectivos primitivos são \lnot e \to e a conjunção é dada por abreviação
A\wedge B\;\equiv\;\lnot\bigl(A\to\lnot B\bigr).
Vamos usar os axiomas de conjunção e modus ponens junto com o esquema de dedução de implicação (axioma A_{2}) para montar a prova.

Passo 2

Listemos os axiomas de conjunção que usamos (Mendelson, p. 31–32):
A_{4}:
p\wedge q\;\to\;p
A_{5}:
p\wedge q\;\to\;q
A_{6}:
r\;\to\;\bigl(p\;\to\;(r\wedge p)\bigr)
e o axioma A_{2} (distribuição da implicação):
\bigl(p\to(q\to r)\bigr)\;\to\;\bigl((p\to q)\to(p\to r)\bigr).

Passo 3

Aplique A_{4} com p:=A e q:=B. Obtemos
A\wedge B\;\to\;A.

Passo 4

Aplique A_{5} com p:=A e q:=B. Obtemos
A\wedge B\;\to\;B.

Passo 5

Aplique A_{6} com r:=B e p:=A. Obtemos
B\;\to\;\bigl(A\;\to\;(B\wedge A)\bigr).

Passo 6

Agora usamos o axioma A_{2} para combinar o resultado de Passo 4 com A_{6} de Passo 5. Instancie A_{2} com
p := A\wedge B,\quad q := B,\quad r := \bigl(A\to(B\wedge A)\bigr),
de modo que
\bigl((A\wedge B)\to\bigl(B\to(A\to(B\wedge A))\bigr)\bigr) \;\to\; \bigl(\bigl((A\wedge B)\to B\bigr)\;\to\;\bigl((A\wedge B)\to(A\to(B\wedge A)))\bigr).
Mas (A\wedge B)\to\bigl(B\to(A\to(B\wedge A))\bigr) é exatamente a fórmula de Passo 5 depois de trocar B por (A\wedge B). Logo, por modus ponens com Passo 5, segue
(A\wedge B)\;\to\;(A\to(B\wedge A)).

Passo 7

Finalmente usamos A_{2} de novo para combinar o resultado do Passo 6 com o de Passo 3. Instancie A_{2} com
p := A\wedge B,\quad q := A,\quad r := (B\wedge A),
obtendo
\bigl((A\wedge B)\to(A\to(B\wedge A))\bigr) \;\to\; \bigl(\bigl((A\wedge B)\to A\bigr)\;\to\;\bigl((A\wedge B)\to(B\wedge A))\bigr).
Aplicando modus ponens primeiro com o teorema de Passo 6 e depois com o de Passo 3, conclui-se
A\wedge B\;\to\;B\wedge A.

Resposta

A fórmula \;A\wedge B\to B\wedge A\; é demonstrável no sistema axiomatico A conforme o encadeamento acima.

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