Prove que o vazio é aberto
Passo 1
Enunciado: provar que o conjunto vazio
é aberto.
Informações dadas: apenas a afirmação acima — não há hipóteses extras no enunciado.
Observação: existem duas maneiras simples e comuns de interpretar e provar isso; vou apresentar as duas para você aprender e usar a que preferir na prova.
Informações dadas: apenas a afirmação acima — não há hipóteses extras no enunciado.
Observação: existem duas maneiras simples e comuns de interpretar e provar isso; vou apresentar as duas para você aprender e usar a que preferir na prova.
Passo 2
Definição (via bolas abertas em um espaço métrico): seja
um espaço métrico. Um subconjunto
é dito aberto se, para todo
, existe um raio
tal que a bola aberta
satisfaz
.
Explicando cada símbolo: é o conjunto ambiente,
é a distância;
é o conjunto que testamos;
é um ponto em
;
é um número real positivo;
é o conjunto de pontos a menos de
de
.
Explicando cada símbolo:
Passo 3
Conceito importante usado aqui: verdade vacuamente verdadeira. A afirmação
é verdadeira quando não existe nenhum
. Exemplo informal: “todos os habitantes da ilha imaginária X têm cabelo verde” é verdade se a ilha não tem habitantes. Em lógica, uma declaração universal sobre um conjunto vazio é automaticamente verdadeira porque não há contraexemplo para refutar.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso
: a definição exige que "para todo
, existe
tal que
". Mas não existe nenhum
. Logo a condição universal é satisfeita vacuamente. Portanto, pela definição,
é aberto em qualquer espaço métrico
.
Passo 5
Segunda abordagem (via axioma de topologia): se trabalharmos com uma topologia
em
, a própria definição de topologia exige que
(ou seja, que
seja um dos conjuntos abertos). Assim, por definição da topologia,
é aberto. Essa prova é imediata porque a inclusão de
é um dos axiomas que definem o que é uma topologia.
Passo 6
Resumo intuitivo e motivador: a razão pela qual
é aberto é que a definição de aberto fala “para todo ponto do conjunto tal coisa deve ocorrer”. Se não há pontos, não há nada que possa falhar — então a condição é satisfeita automaticamente. Não se preocupe se isso parece estranhamente “vazio” — é uma regra lógica simples e muito útil.