Prove que o vazio é aberto

Passo 1

Enunciado: provar que o conjunto vazio \emptyset é aberto.
Informações dadas: apenas a afirmação acima — não há hipóteses extras no enunciado.
Observação: existem duas maneiras simples e comuns de interpretar e provar isso; vou apresentar as duas para você aprender e usar a que preferir na prova.

Passo 2

Definição (via bolas abertas em um espaço métrico): seja (X,d) um espaço métrico. Um subconjunto U\subset X é dito aberto se, para todo x\in U, existe um raio r>0 tal que a bola aberta
B(x,r)=\{y\in X \mid d(y,x)<r\}
satisfaz B(x,r)\subset U.
Explicando cada símbolo: X é o conjunto ambiente, d é a distância; U é o conjunto que testamos; x é um ponto em U; r é um número real positivo; B(x,r) é o conjunto de pontos a menos de r de x.

Passo 3

Conceito importante usado aqui: verdade vacuamente verdadeira. A afirmação \forall x\in A:\;P(x) é verdadeira quando não existe nenhum x\in A. Exemplo informal: “todos os habitantes da ilha imaginária X têm cabelo verde” é verdade se a ilha não tem habitantes. Em lógica, uma declaração universal sobre um conjunto vazio é automaticamente verdadeira porque não há contraexemplo para refutar.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso U=\emptyset: a definição exige que "para todo x\in\emptyset, existe r>0 tal que B(x,r)\subset\emptyset". Mas não existe nenhum x\in\emptyset. Logo a condição universal é satisfeita vacuamente. Portanto, pela definição, \emptyset é aberto em qualquer espaço métrico (X,d).

Passo 5

Segunda abordagem (via axioma de topologia): se trabalharmos com uma topologia \tau em X, a própria definição de topologia exige que \emptyset\in\tau (ou seja, que \emptyset seja um dos conjuntos abertos). Assim, por definição da topologia, \emptyset é aberto. Essa prova é imediata porque a inclusão de \emptyset é um dos axiomas que definem o que é uma topologia.

Passo 6

Resumo intuitivo e motivador: a razão pela qual \emptyset é aberto é que a definição de aberto fala “para todo ponto do conjunto tal coisa deve ocorrer”. Se não há pontos, não há nada que possa falhar — então a condição é satisfeita automaticamente. Não se preocupe se isso parece estranhamente “vazio” — é uma regra lógica simples e muito útil.

Resposta

\emptyset é aberto.

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