Estabeleça, pela definição de limites, os limites indicados:
\lim _{z \rightarrow-3 i}\left(z^{2}-5 z\right)=-9+15 i

Passo 1

O enunciado pede que, usando a definição de limite, se estabeleça que
\lim_{z\to -3i}\bigl(z^{2}-5z\bigr) = -9+15i.
Informações dadas:
\bullet A função considerada é \;f(z)=z^{2}-5z.\n
\bullet O ponto pelo qual z tende é \;z_{0}=-3i.\n
\bullet A afirmação a provar é que o limite vale \;L=-9+15i.

Passo 2

Relembre a definição (para números complexos): dizer que
\lim_{z\to z_{0}} f(z)=L
significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-z_{0}|<\delta, temos |f(z)-L|<\varepsilon. Aqui |\cdot| é o módulo complexo, ou seja, se w=x+iy então |w|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Também usaremos a desigualdade triangular: para quaisquer complexos u,v vale |u+v|\le |u|+|v|.

Passo 3

Verifiquemos primeiro que L é realmente o valor de f em z_{0}:
z_{0}=-3i\quad\Rightarrow\quad z_{0}^{2}=(-3i)^{2}=9\cdot i^{2}=9\cdot(-1)=-9,
-5z_{0}=-5(-3i)=15i,
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f(z_{0})=z_{0}^{2}-5z_{0}=-9+15i,
ou seja f(z_{0})=L. Bom sinal: o limite candidato é exatamente o valor da função no ponto.

Passo 4

Calcule a diferença f(z)-L e fatorize-a para isolar o fator (z-z_{0}):
f(z)-L = \bigl(z^{2}-5z\bigr)-\bigl(z_{0}^{2}-5z_{0}\bigr) = (z^{2}-z_{0}^{2})-5(z-z_{0}).
Usando z^{2}-z_{0}^{2}=(z-z_{0})(z+z_{0}) obtemos
f(z)-L = (z-z_{0})(z+z_{0})-5(z-z_{0}) = (z-z_{0})\bigl(z+z_{0}-5\bigr).

Passo 5

Tome módulos em ambos os lados e use propriedades do módulo:
|f(z)-L| = |z-z_{0}|\;|z+z_{0}-5|.
Precisamos controlar |z+z_{0}-5| por algo que dependa de |z-z_{0}| e constantes. Escreva
z+z_{0}-5 = (z-z_{0}) + (2z_{0}-5).
Aplicando a desigualdade triangular:
|z+z_{0}-5| \le |z-z_{0}| + |2z_{0}-5|.
Calcule |2z_{0}-5| com z_{0}=-3i:
2z_{0}-5 = -6i-5,\quad\text{então}\quad |2z_{0}-5|=\sqrt{(-5)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}.ã
Assim
|z+z_{0}-5| \le |z-z_{0}| + \sqrt{61}.
Escolhendo, por exemplo, \delta\le 1 teremos |z-z_{0}|<1 e portanto
|z+z_{0}-5| \le 1+\sqrt{61}.
Dessa forma, quando 0<|z-z_{0}|<\delta\le 1,
|f(z)-L| = |z-z_{0}|\;|z+z_{0}-5| \le |z-z_{0}|\,(1+\sqrt{61}).

Passo 6

Agora fazemos a escolha explícita de \delta em função de \varepsilon. Dado \varepsilon>0, tome
\delta = \min\!\left\{1,\;\frac{\varepsilon}{1+\sqrt{61}}\right\}.
Então, se 0<|z-z_{0}|<\delta, temos |z-z_{0}|<1 e a desigualdade do passo anterior fornece
|f(z)-L| \le |z-z_{0}|\,(1+\sqrt{61}) < \delta(1+\sqrt{61}) \le \frac{\varepsilon}{1+\sqrt{61}}(1+\sqrt{61})=\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição necessária da definição de limite: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que 0<|z-z_{0}|<\delta implica |f(z)-L|<\varepsilon.

Passo 7

Concluímos, pela definição \varepsilon- \delta para limites em números complexos, que
\lim_{z\to -3i}\bigl(z^{2}-5z\bigr) = -9+15i.
Boa! Você aplicou a definição direitinho — fatorar a diferença e usar desigualdade triangular é o truque padrão para polinômios.

Resposta

\lim_{z\to -3i}\bigl(z^{2}-5z\bigr) = -9+15i

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