Estabeleça, pela definição de limites, os limites indicados:
Passo 1
O enunciado pede que, usando a definição de limite, se estabeleça que
Informações dadas:
Passo 2
Relembre a definição (para números complexos): dizer que
significa que, para todo
, existe
tal que, sempre que
, temos
. Aqui
é o módulo complexo, ou seja, se
então
. Também usaremos a desigualdade triangular: para quaisquer complexos
vale
.
Passo 3
Verifiquemos primeiro que
é realmente o valor de
em
:
logo
ou seja
. Bom sinal: o limite candidato é exatamente o valor da função no ponto.
Passo 4
Calcule a diferença
e fatorize-a para isolar o fator
:
Usando
obtemos
Passo 5
Tome módulos em ambos os lados e use propriedades do módulo:
Precisamos controlar
por algo que dependa de
e constantes. Escreva
Aplicando a desigualdade triangular:
Calcule
com
:
Assim
Escolhendo, por exemplo,
teremos
e portanto
Dessa forma, quando
,
Passo 6
Agora fazemos a escolha explícita de
em função de
. Dado
, tome
Então, se
, temos
e a desigualdade do passo anterior fornece
Isso mostra exatamente a condição necessária da definição de limite: para todo
existe
tal que
implica
.
Passo 7
Concluímos, pela definição
-
para limites em números complexos, que
Boa! Você aplicou a definição direitinho — fatorar a diferença e usar desigualdade triangular é o truque padrão para polinômios.