Calcule as raízes dos números complexos abaixo:
(1+i \sqrt{3})^{1 / 2}

Passo 1

O problema pede para calcular as raízes quadradas do número complexo 1 + i\sqrt{3}.
Informações dadas: o número complexo é \,1 + i\sqrt{3}\,.
Pergunta clara: encontrar todos os números complexos z tais que z^{2} = 1 + i\sqrt{3}.

Passo 2

Primeiro passo técnico que vamos usar: é muito prático transformar o número complexo em sua forma polar (módulo e argumento). Vou explicar o que isso significa e como calcular.
Definições rápidas e intuitivas:
  • O módulo de um complexo a + ib é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Ele é a distância do ponto (a,b) até a origem no plano.
  • O argumento (ângulo) \theta é o ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo; pode ser calculado por \theta = \arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right), ajustando o quadrante.
Aplicando ao nosso número \,1 + i\sqrt{3}\,:
  • O módulo é
r=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
  • O argumento satisfaz \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}. Como 1>0 e \sqrt{3}>0, estamos no primeiro quadrante, então \theta=\dfrac{\pi}{3} (pois \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}).
Portanto podemos escrever em forma trigonométrica:
1 + i\sqrt{3} = 2\big(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\big).

Passo 3

Agora a regra para raízes: as raízes n-ésimas de um complexo r(\cos\theta + i\sin\theta) são dadas por
r^{1/n}\Big(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n}\Big),
para k=0,1,\dots,n-1. No caso de raízes quadradas ( n=2) isso vira
\text{raízes}:\quad r^{1/2}\Big(\cos\frac{\theta+2k\pi}{2} + i\sin\frac{\theta+2k\pi}{2}\Big),\quad k=0,1.í
Outra forma compacta é
r^{1/2} e^{i(\theta/2 + k\pi)},\quad k=0,1.
Aqui temos r=2 e \theta=\dfrac{\pi}{3}. Então r^{1/2}=\sqrt{2} e \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\pi}{6}. As duas raízes correspondem a k=0 e k=1.

Passo 4

Calcule as duas raízes explicitamente em forma trigonométrica e depois em forma retangular.
Para k=0:
z_{0}=\sqrt{2}\big(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\big).
Sabemos que \cos\frac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\frac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}. Portanto
z_{0}=\sqrt{2}\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Para k=1:
z_{1}=\sqrt{2}\big(\cos(\tfrac{\pi}{6}+\pi)+i\sin(\tfrac{\pi}{6}+\pi)\big) =\sqrt{2}\big(\cos\tfrac{7\pi}{6}+i\sin\tfrac{7\pi}{6}\big).
Como \cos\tfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin\tfrac{7\pi}{6}=-\dfrac{1}{2}, obtemos
z_{1}=\sqrt{2}\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2} - i\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\sqrt{6}}{2} - i\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
Note que as duas raízes são opostas: z_{1}=-z_{0}, como costuma acontecer para raízes quadradas quando o número original tem argumento bem definido.

Passo 5

Verificação rápida (é sempre bom checar no exame): vamos elevar z_{0} ao quadrado e ver se volta para 1+i\sqrt{3}.
Se z_{0}=a+ib com a=\dfrac{\sqrt{6}}{2} e b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
z_{0}^{2}=(a+ib)^{2}=(a^{2}-b^{2}) + i(2ab).
Calcule:
a^{2}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2},\qquad b^{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},
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a^{2}-b^{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1.
E
2ab = 2\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2\sqrt{12}}{4}=\dfrac{2\cdot 2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}.
Portanto z_{0}^{2}=1+i\sqrt{3}, checando corretamente. Como z_{1}=-z_{0}, também z_{1}^{2}=z_{0}^{2}.

Passo 6

Resumo amigável: as duas raízes quadradas de 1+i\sqrt{3} são
\dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2} e -\dfrac{\sqrt{6}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Se a prova pedir a “raiz principal” normalmente escolhemos a de menor argumento absoluto, aqui essa é \dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Força aí — essa linha de raciocínio é direta de decorar: módulo, argumento, dividir o ângulo por 2, e colocar k\pi para a segunda raiz no caso quadrado.

Resposta

\dfrac{\sqrt{6}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}
-\dfrac{\sqrt{6}}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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