Calcule as raízes dos números complexos abaixo:
Passo 1
O problema pede para calcular as raízes quadradas do número complexo
.
Informações dadas: o número complexo é .
Pergunta clara: encontrar todos os números complexos tais que
.
Informações dadas: o número complexo é
Pergunta clara: encontrar todos os números complexos
Passo 2
Primeiro passo técnico que vamos usar: é muito prático transformar o número complexo em sua forma polar (módulo e argumento). Vou explicar o que isso significa e como calcular.
Definições rápidas e intuitivas:
- O módulo de um complexo
é . Ele é a distância do ponto até a origem no plano. - O argumento (ângulo)
é o ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo; pode ser calculado por , ajustando o quadrante.
Aplicando ao nosso número
:
- O módulo é
- O argumento satisfaz
. Como e , estamos no primeiro quadrante, então (pois ).
Portanto podemos escrever em forma trigonométrica:
Passo 3
Agora a regra para raízes: as raízes
-ésimas de um complexo
são dadas por
para
. No caso de raízes quadradas (
) isso vira
Outra forma compacta é
Aqui temos
e
. Então
e
. As duas raízes correspondem a
e
.
Passo 4
Calcule as duas raízes explicitamente em forma trigonométrica e depois em forma retangular.
Para
:
Sabemos que
e
. Portanto
Para
:
Como
e
, obtemos
Note que as duas raízes são opostas:
, como costuma acontecer para raízes quadradas quando o número original tem argumento bem definido.
Passo 5
Verificação rápida (é sempre bom checar no exame): vamos elevar
ao quadrado e ver se volta para
.
Se
com
e
, então
Calcule:
logo
E
Portanto
, checando corretamente. Como
, também
.
Passo 6
Resumo amigável: as duas raízes quadradas de
são
e
. Se a prova pedir a “raiz principal” normalmente escolhemos a de menor argumento absoluto, aqui essa é
. Força aí — essa linha de raciocínio é direta de decorar: módulo, argumento, dividir o ângulo por 2, e colocar
para a segunda raiz no caso quadrado.