Além das propriedades diferenciais, existem relações integrais que podem ser obtidas através dos teoremas de Gauss e de Stokes, as mais importantes são as Identidades de Green. Prove as identidades de Green abaixo:
\int_{V}\left(\psi \nabla^{2} \varphi-\varphi \nabla^{2} \psi\right) d V=\oint_{S}(\psi \nabla \varphi-\varphi \nabla \psi) \cdot \hat{n} d S \text { e } \int_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi+\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oint_{S} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n} d S
Passo 1
O enunciado pede para provar duas identidades integrais (as chamadas identidades de Green) envolvendo duas funções escalares \varphi e \psi definidas em um volume V com fronteira suave S. As perguntas são exatamente provar que:
\int_{V}\left(\psi \nabla^{2} \varphi-\varphi \nabla^{2} \psi\right) d V=\oint_{S}(\psi \nabla \varphi-\varphi \nabla \psi) \cdot \hat{n}\, d S
e
\int_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi+\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oint_{S} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n}\, d S.
Informações relevantes dadas (assumidas necessárias para aplicar os teoremas):
\varphi e \psi são funções suficientemente suaves em V (pelo menos duas vezes diferenciáveis no interior e contínuas até a fronteira), de modo que operações com \nabla, \nabla^2 e o teorema da divergência sejam válidas.
V é um volume com fronteira fechada S orientada pela normal externa unitária \hat n.
Passo 2
Lembrete do teorema que será usado (Teorema da Divergência / de Gauss), e a regra do produto para a divergência.
Teorema da Divergência (Gauss):
\int_{V} \nabla\cdot \mathbf{F}\, dV = \oint_{S} \mathbf{F}\cdot \hat{n}\, dS,
para qualquer campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave em V.
Regra do produto (fórmula útil para divergência de um escalar vezes gradiente):
se f e g são funções escalares suaves, então
\nabla\cdot\big( f\,\nabla g\big)=\nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2}g.
Vamos explicar e demonstrar essa igualdade rapidamente em componentes para fixar bem a ideia: escrevendo em coordenadas x_{i} (com soma de índices implícita),
\nabla\cdot\big( f\,\nabla g\big)=\partial_{i}\big(f\,\partial_{i} g\big)= (\partial_{i} f)(\partial_{i} g)+ f\,\partial_{i}\partial_{i} g = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2} g.
Isto não é mágico: é apenas a regra da derivada do produto aplicada componente a componente.
Calcule a divergência de \mathbf{F} usando a regra do produto que vimos:
usando \nabla\cdot(\psi\nabla\varphi)=\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\nabla^{2}\varphi e \nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^{2}\psi, obtemos
Observações didáticas, interpretação e um exemplo simples para fixar.
Interpretação rápida: as identidades de Green conectam integrais de derivadas de segunda ordem no volume (Laplacianos) com integrais de primeiras derivadas sobre a superfície. A primeira identidade é frequentemente chamada de identidade de Green (forma 1) e a segunda de Green (forma 2) — ambas são consequência direta do teorema da divergência combinada com a regra do produto.
Exemplo 1D (checagem rápida e concreta):
seja V=[0,1] (intervalo em 1D), \varphi(x)=x, \psi(x)=x^{2}.
Para a primeira identidade: \varphi''(x)=0, \psi''(x)=2. Então a integral do volume (1D) é
concordando com o volume. A segunda identidade confere de modo análogo (deixando como exercício rápido de verificar): os dois lados valem 2 neste exemplo.
Condições técnicas: implicitamente usou-se que \varphi e \psi são suficientemente suaves e que S é uma fronteira regular; essas hipóteses garantem que as integrais e a aplicação do teorema de Gauss são válidas.
Resposta
\int_{V}\left(\psi \nabla^{2} \varphi-\varphi \nabla^{2} \psi\right) d V=\oint_{S}(\psi \nabla \varphi-\varphi \nabla \psi) \cdot \hat{n}\, d S
\int_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi+\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oint_{S} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n}\, d S