Além das propriedades diferenciais, existem relações integrais que podem ser obtidas através dos teoremas de Gauss e de Stokes, as mais importantes são as Identidades de Green. Prove as identidades de Green abaixo:
\int_{V}\left(\psi \nabla^{2} \varphi-\varphi \nabla^{2} \psi\right) d V=\oint_{S}(\psi \nabla \varphi-\varphi \nabla \psi) \cdot \hat{n} d S \text { e } \int_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi+\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oint_{S} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n} d S

Passo 1

O enunciado pede para provar duas identidades integrais (as chamadas identidades de Green) envolvendo duas funções escalares \varphi e \psi definidas em um volume V com fronteira suave S. As perguntas são exatamente provar que:
\int_{V}\left(\psi \nabla^{2} \varphi-\varphi \nabla^{2} \psi\right) d V=\oint_{S}(\psi \nabla \varphi-\varphi \nabla \psi) \cdot \hat{n}\, d S
e
\int_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi+\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oint_{S} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n}\, d S.
Informações relevantes dadas (assumidas necessárias para aplicar os teoremas):
  • \varphi e \psi são funções suficientemente suaves em V (pelo menos duas vezes diferenciáveis no interior e contínuas até a fronteira), de modo que operações com \nabla, \nabla^2 e o teorema da divergência sejam válidas.
  • V é um volume com fronteira fechada S orientada pela normal externa unitária \hat n.

Passo 2

Lembrete do teorema que será usado (Teorema da Divergência / de Gauss), e a regra do produto para a divergência.
Teorema da Divergência (Gauss):
\int_{V} \nabla\cdot \mathbf{F}\, dV = \oint_{S} \mathbf{F}\cdot \hat{n}\, dS,
para qualquer campo vetorial \mathbf{F} suficientemente suave em V.
Regra do produto (fórmula útil para divergência de um escalar vezes gradiente):
se f e g são funções escalares suaves, então
\nabla\cdot\big( f\,\nabla g\big)=\nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2}g.
Vamos explicar e demonstrar essa igualdade rapidamente em componentes para fixar bem a ideia: escrevendo em coordenadas x_{i} (com soma de índices implícita),
\nabla\cdot\big( f\,\nabla g\big)=\partial_{i}\big(f\,\partial_{i} g\big)= (\partial_{i} f)(\partial_{i} g)+ f\,\partial_{i}\partial_{i} g = \nabla f\cdot\nabla g + f\,\nabla^{2} g.
Isto não é mágico: é apenas a regra da derivada do produto aplicada componente a componente.

Passo 3

Prova da primeira identidade.
Considere o campo vetorial
\mathbf{F}=\psi\,\nabla\varphi - \varphi\,\nabla\psi.
Calcule a divergência de \mathbf{F} usando a regra do produto que vimos:
usando \nabla\cdot(\psi\nabla\varphi)=\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\nabla^{2}\varphi e \nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^{2}\psi, obtemos
\nabla\cdot\mathbf{F}=\nabla\cdot(\psi\nabla\varphi)-\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi) =(\nabla\psi\cdot\nabla\varphi+\psi\nabla^{2}\varphi)-(\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^{2}\psi).
As parcelas \nabla\psi\cdot\nabla\varphi e \nabla\varphi\cdot\nabla\psi são iguais, então elas se cancelam, restando
\nabla\cdot\mathbf{F}=\psi\nabla^{2}\varphi-\varphi\nabla^{2}\psi.
Agora aplique o teorema da divergência ao campo \mathbf{F}:
\int_{V}\big(\psi\nabla^{2}\varphi-\varphi\nabla^{2}\psi\big)\,dV =\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV =\oint_{S}\mathbf{F}\cdot\hat{n}\,dS =\oint_{S}(\psi\nabla\varphi-\varphi\nabla\psi)\cdot\hat{n}\,dS.
Isto é exatamente a primeira identidade que se desejava provar.

Passo 4

Prova da segunda identidade.
Agora considere o campo vetorial
\mathbf{G}=\varphi\,\nabla\psi.
Usando novamente a regra do produto para divergência:
\nabla\cdot\mathbf{G}=\nabla\cdot(\varphi\nabla\psi)=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^{2}\psi.
Aplique o teorema da divergência:
\int_{V}\big(\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\nabla^{2}\psi\big)\,dV =\int_{V}\nabla\cdot\mathbf{G}\,dV =\oint_{S}\mathbf{G}\cdot\hat{n}\,dS =\oint_{S}\varphi\,\nabla\psi\cdot\hat{n}\,dS.
Reescrevendo os termos na ordem pedida, obtém-se
\int_{V}\big(\varphi\nabla^{2}\psi+\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\big)\,dV=\oint_{S}\varphi\,\nabla\psi\cdot\hat{n}\,dS,
que é exatamente a segunda identidade.

Passo 5

Observações didáticas, interpretação e um exemplo simples para fixar.
Interpretação rápida: as identidades de Green conectam integrais de derivadas de segunda ordem no volume (Laplacianos) com integrais de primeiras derivadas sobre a superfície. A primeira identidade é frequentemente chamada de identidade de Green (forma 1) e a segunda de Green (forma 2) — ambas são consequência direta do teorema da divergência combinada com a regra do produto.
Exemplo 1D (checagem rápida e concreta):
seja V=[0,1] (intervalo em 1D), \varphi(x)=x, \psi(x)=x^{2}.
  • Para a primeira identidade: \varphi''(x)=0, \psi''(x)=2. Então a integral do volume (1D) é
\int_{0}^{1}\big(\psi\varphi''-\varphi\psi''\big)\,dx=\int_{0}^{1}\big( x^{2}\cdot 0 - x\cdot 2\big)\,dx=\int_{0}^{1}(-2x)\,dx=-1.
O lado de contorno dá (em 1D as “normais” são +1 em x=1 e -1 em x=0):
(\psi\varphi'-\varphi\psi')\Big|_{x=1} - (\psi\varphi'-\varphi\psi')\Big|_{x=0} = (-1) - 0 = -1,
concordando com o volume. A segunda identidade confere de modo análogo (deixando como exercício rápido de verificar): os dois lados valem 2 neste exemplo.
Condições técnicas: implicitamente usou-se que \varphi e \psi são suficientemente suaves e que S é uma fronteira regular; essas hipóteses garantem que as integrais e a aplicação do teorema de Gauss são válidas.

Resposta

\int_{V}\left(\psi \nabla^{2} \varphi-\varphi \nabla^{2} \psi\right) d V=\oint_{S}(\psi \nabla \varphi-\varphi \nabla \psi) \cdot \hat{n}\, d S
\int_{V}\left(\varphi \nabla^{2} \psi+\vec{\nabla} \varphi \cdot \vec{\nabla} \psi\right) d V=\oint_{S} \varphi \vec{\nabla} \psi \cdot \hat{n}\, d S

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