Considere as funções
Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá as funções e o integral a calcular. Peguei estes dados do enunciado:
-
. -
. - A integral dupla a calcular é
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Vou descrever a região de integração no plano
, pois isso ajuda a trocar a ordem de integração (o que facilita aqui).
A condição interna da integral é variando de
até
para
entre
e
. A desigualdade
é equivalente a
. Com
também satisfazendo
, concluímos que, projetando no eixo
,
varia de
até
. Assim a região pode ser descrita por
A condição interna da integral é
Como a função integrando
é contínua na região (o denominador é sempre positivo), é permitido trocar a ordem de integração (teorema de Fubini).
Passo 3
Troco a ordem de integração e escrevo a integral como
Passo 4
A integranda
não depende de
, então a integral interna em
é simples:
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em uma variável:
Passo 5
Agora observo a forma da integral univariada. Note que a derivada do denominador
é
. Logo a expressão
aparece proporcional à derivada do denominador, o que sugere a substituição
ou diretamente o reconhecimento de
.
Faço a manipulação constante:
Calculo
. Portanto
Passo 6
Aplicando a substituição
(ou reconhecendo a primitiva direta), tem-se
e
Multiplicando pelo fator
, a primitiva da integranda original é
.
Passo 7
Avalio a primitiva entre
e
:
Calculo os argumentos dos logaritmos:
e
. Assim
Se desejar uma aproximação decimal,
, logo o valor aproximado é
.