Considere as funções
f(x, y)=5,4 \text { e } g(x, y)=y^{3}+6,4
Calcule
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá as funções e o integral a calcular. Peguei estes dados do enunciado:
  • f(x,y)=5,4.
  • g(x,y)=y^{3}+6,4.
  • A integral dupla a calcular é
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{x}}^{2}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}\,dy\,dx.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Vou descrever a região de integração no plano (x,y), pois isso ajuda a trocar a ordem de integração (o que facilita aqui).
A condição interna da integral é y variando de \sqrt{x} até 2 para x entre 0 e 4. A desigualdade y\ge\sqrt{x} é equivalente a x\le y^{2}. Com x também satisfazendo 0\le x\le 4, concluímos que, projetando no eixo y, y varia de 0 até 2. Assim a região pode ser descrita por
0\le y\le 2,\qquad 0\le x\le y^{2}.
Como a função integrando \dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}=\dfrac{5,4}{y^{3}+6,4} é contínua na região (o denominador é sempre positivo), é permitido trocar a ordem de integração (teorema de Fubini).

Passo 3

Troco a ordem de integração e escrevo a integral como
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y^{2}}\frac{5,4}{y^{3}+6,4}\,dx\,dy.

Passo 4

A integranda \dfrac{5,4}{y^{3}+6,4} não depende de x, então a integral interna em x é simples:
\int_{0}^{y^{2}}\frac{5,4}{y^{3}+6,4}\,dx = \frac{5,4}{y^{3}+6,4}\cdot\Big[x\Big]_{0}^{y^{2}} = \frac{5,4\,y^{2}}{y^{3}+6,4}.
Portanto a integral dupla reduz-se a uma integral em uma variável:
\int_{0}^{2}\frac{5,4\,y^{2}}{y^{3}+6,4}\,dy.

Passo 5

Agora observo a forma da integral univariada. Note que a derivada do denominador y^{3}+6,4 é 3y^{2}. Logo a expressão y^{2}\,dy aparece proporcional à derivada do denominador, o que sugere a substituição u=y^{3}+6,4 ou diretamente o reconhecimento de \dfrac{u'}{u}.
Faço a manipulação constante:
\frac{5,4\,y^{2}}{y^{3}+6,4} = \frac{5,4}{3}\cdot\frac{3y^{2}}{y^{3}+6,4}.
Calculo \dfrac{5,4}{3}=1,8. Portanto
\frac{5,4\,y^{2}}{y^{3}+6,4}=1,8\cdot\frac{3y^{2}}{y^{3}+6,4}.

Passo 6

Aplicando a substituição u=y^{3}+6,4 (ou reconhecendo a primitiva direta), tem-se du=3y^{2}\,dy e
\int \frac{3y^{2}}{y^{3}+6,4}\,dy = \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C = \ln(y^{3}+6,4)+C.
Multiplicando pelo fator 1,8, a primitiva da integranda original é 1,8\ln(y^{3}+6,4).

Passo 7

Avalio a primitiva entre y=0 e y=2:
\int_{0}^{2}\frac{5,4\,y^{2}}{y^{3}+6,4}\,dy = 1,8\Big[\ln(y^{3}+6,4)\Big]_{0}^{2} = 1,8\big(\ln(2^{3}+6,4)-\ln(0^{3}+6,4)\big).
Calculo os argumentos dos logaritmos: 2^{3}+6,4=8+6,4=14,4 e 0^{3}+6,4=6,4. Assim
\text{valor} = 1,8\big(\ln(14,4)-\ln(6,4)\big) = 1,8\ln\!\bigg(\frac{14,4}{6,4}\bigg) = 1,8\ln(2,25).
Se desejar uma aproximação decimal, \ln(2,25)\approx 0,810930, logo o valor aproximado é 1,8\cdot 0,810930\approx 1,4597.

Resposta

1,8\ln(2,25)
\approx 1,4597

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