Considere a função
f(x, y)=5 x+7 y+4
Calcule
\iint_{E} f(x, y) d A
onde E é a região do plano x y limitada pelas curvas y^{2}=x e y=x-2.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{E} f(x,y)\,dA
onde foi dada a função
f(x,y)=5x+7y+4
e a região E é a região do plano limitada pelas curvas
y^{2}=x
e
y=x-2.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é f(x,y)=5x+7y+4.
  • As curvas que limitam E são x=y^{2} (parábola com eixo horizontal) e x=y+2 (reta escrita como x=y+2 a partir de y=x-2).
  • É preciso determinar a região E (onde essas curvas se interceptam e qual é a fronteira interior/ exterior) e então calcular a integral dupla sobre E.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para delimitar os limites da região. Igualando x das duas curvas:
y^{2}=x \quad\text{e}\quad x=y+2 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=y+2.
Reescrevendo:
y^{2}-y-2=0.
Essa é uma equação quadrática que fatoriza:
(y-2)(y+1)=0.
Logo as soluções são
y=2 \quad\text{e}\quad y=-1.
Os pontos de interseção no plano (x,y) são, substituindo em x=y^{2} ou x=y+2:
\text{para } y=2:\\ (x,y)=(4,2),\qquad \text{para } y=-1:\\ (x,y)=(1,-1).

Passo 3

Precisamos escolher uma ordem de integração conveniente. Como ambas as curvas podem ser escritas como x= função de y (parábola: x=y^{2}; reta: x=y+2), é natural integrar primeiro em x e depois em y. Para cada y entre -1 e 2, a abscissa esquerda é x=y^{2} e a abscissa direita é x=y+2. Para confirmar qual é a menor e qual é a maior: calcule y+2-y^{2}=-(y^{2}-y-2)=-(y-2)(y+1); entre as raízes y\in(-1,2) isso é positivo, logo y+2>y^{2}. Portanto o domínio E pode ser descrito como
E=\{(x,y)\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}\le x\le y+2\}.

Passo 4

Montamos a integral dupla com essa ordem:
\iint_{E} (5x+7y+4)\,dA = \int_{y=-1}^{2}\left(\int_{x=y^{2}}^{y+2} (5x+7y+4)\,dx\right)dy.
Agora vamos calcular a integral interna em x.

Passo 5

Calcule a integral interna em x:
\int_{x=y^{2}}^{y+2} (5x+7y+4)\,dx.
Integramos termo a termo em x. Uma primitiva em x é
\int (5x+7y+4)\,dx = \frac{5}{2}x^{2} + (7y+4)x,
pois 7y+4 é constante quando se integra em x. Avaliando entre x=y^{2} e x=y+2:
F(y)=\left[\frac{5}{2}x^{2}+(7y+4)x\right]_{x=y^{2}}^{x=y+2}.
Agora substituímos os limites: primeiro x=y+2, depois x=y^{2}:
F(y)=\frac{5}{2}\big((y+2)^{2}- (y^{2})^{2}\big)+(7y+4)\big((y+2)-y^{2}\big).

Passo 6

Simplificamos F(y) em polinômio para poder integrar em y. Primeiro expandimos:
(y+2)^{2}=y^{2}+4y+4,\qquad (y^{2})^{2}=y^{4},
então
\frac{5}{2}\big((y+2)^{2}-y^{4}\big)=\frac{5}{2}\big(-y^{4}+y^{2}+4y+4\big).
E
(7y+4)\big((y+2)-y^{2}\big)=(7y+4)\big(-y^{2}+y+2\big).
Multiplicando os termos:
(7y+4)(-y^{2}+y+2)=-7y^{3}+3y^{2}+18y+8.
Somando as duas parcelas:
F(y)=-\frac{5}{2}y^{4}-7y^{3}+\frac{11}{2}y^{2}+28y+18.
Portanto a integral desejada é
\int_{-1}^{2} F(y)\,dy = \int_{-1}^{2}\left(-\frac{5}{2}y^{4}-7y^{3}+\frac{11}{2}y^{2}+28y+18\right)dy.

Passo 7

Agora integramos termo a termo em y. Uma primitiva (antiderivada) é:
G(y)=-\frac{1}{2}y^{5}-\frac{7}{4}y^{4}+\frac{11}{6}y^{3}+14y^{2}+18y,
pois:
  • \displaystyle\int -\tfrac{5}{2}y^{4}dy = -\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{y^{5}}{5} = -\tfrac{1}{2}y^{5},
  • \displaystyle\int -7y^{3}dy = -7\cdot\tfrac{y^{4}}{4} = -\tfrac{7}{4}y^{4},
  • \displaystyle\int \tfrac{11}{2}y^{2}dy = \tfrac{11}{2}\cdot\tfrac{y^{3}}{3} = \tfrac{11}{6}y^{3},
  • \displaystyle\int 28y\,dy = 14y^{2},
  • \displaystyle\int 18\,dy = 18y.
Agora avaliamos entre y=-1 e y=2.

Passo 8

Avaliação em y=2:
G(2)=-\tfrac{1}{2}(2)^{5}-\tfrac{7}{4}(2)^{4}+\tfrac{11}{6}(2)^{3}+14(2)^{2}+18(2).
Calculando passo a passo:
-\tfrac{1}{2}\cdot32=-16,\quad -\tfrac{7}{4}\cdot16=-28,\quad \tfrac{11}{6}\cdot8=\tfrac{88}{6}=\tfrac{44}{3},
14\cdot4=56,\quad 18\cdot2=36.
Somando esses termos:
G(2)=-16-28+\tfrac{44}{3}+56+36=48+\tfrac{44}{3}=\tfrac{188}{3}.
Avaliação em y=-1:
G(-1)=-\tfrac{1}{2}(-1)^{5}-\tfrac{7}{4}(-1)^{4}+\tfrac{11}{6}(-1)^{3}+14(-1)^{2}+18(-1).
Calculando:
-\tfrac{1}{2}(-1)=\tfrac{1}{2},\quad -\tfrac{7}{4}\cdot1=-\tfrac{7}{4},\quad \tfrac{11}{6}(-1)=-\tfrac{11}{6},
14\cdot1=14,\quad 18(-1)=-18.
Somando:
G(-1)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{7}{4}-\tfrac{11}{6}+14-18.
Colocando em denominador comum 12:
G(-1)=\frac{6-21-22+168-216}{12}=\frac{-85}{12}.
Agora a integral é G(2)-G(-1):
\iint_{E} f\,dA = \frac{188}{3}-\left(-\frac{85}{12}\right)=\frac{188}{3}+\frac{85}{12}.
Colocando em denominador 12:
\frac{188}{3}=\frac{752}{12},\quad \frac{752}{12}+\frac{85}{12}=\frac{837}{12}.
Simplificando por 3:
\frac{837}{12}=\frac{279}{4}.

Resposta

\dfrac{279}{4}

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