Considere a função
Calcule
onde
é a região do plano
limitada pelas curvas
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde foi dada a função
e a região
é a região do plano limitada pelas curvas
e
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. - As curvas que limitam
são (parábola com eixo horizontal) e (reta escrita como a partir de ). - É preciso determinar a região
(onde essas curvas se interceptam e qual é a fronteira interior/ exterior) e então calcular a integral dupla sobre .
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção das curvas para delimitar os limites da região. Igualando
das duas curvas:
Reescrevendo:
Essa é uma equação quadrática que fatoriza:
Logo as soluções são
Os pontos de interseção no plano
são, substituindo em
ou
:
Passo 3
Precisamos escolher uma ordem de integração conveniente. Como ambas as curvas podem ser escritas como
função de
(parábola:
; reta:
), é natural integrar primeiro em
e depois em
. Para cada
entre
e
, a abscissa esquerda é
e a abscissa direita é
. Para confirmar qual é a menor e qual é a maior: calcule
; entre as raízes
isso é positivo, logo
. Portanto o domínio
pode ser descrito como
Passo 4
Montamos a integral dupla com essa ordem:
Agora vamos calcular a integral interna em
.
Passo 5
Calcule a integral interna em
:
Integramos termo a termo em
. Uma primitiva em
é
pois
é constante quando se integra em
. Avaliando entre
e
:
Agora substituímos os limites: primeiro
, depois
:
Passo 6
Simplificamos
em polinômio para poder integrar em
. Primeiro expandimos:
então
E
Multiplicando os termos:
Somando as duas parcelas:
Portanto a integral desejada é
Passo 7
Agora integramos termo a termo em
. Uma primitiva (antiderivada) é:
pois:
-
, -
, -
, -
, -
.
Agora avaliamos entre
e
.
Passo 8
Avaliação em
:
Calculando passo a passo:
Somando esses termos:
Avaliação em
:
Calculando:
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Agora a integral é
:
Colocando em denominador
:
Simplificando por
: