Prove que:
\vec{u}+\vec{v}=\vec{u} implica \vec{v}=\overrightarrow{0} (unicidade do elemento neutro);

Passo 1

O enunciado dá que existem vetores \vec{u} e \vec{v} num espaço vetorial (ou num conjunto com operação de soma de vetores) tais que
\vec{u}+\vec{v}=\vec{u}.
A pergunta é: mostrar que necessariamente \vec{v}=\overrightarrow{0}, onde \overrightarrow{0} é o elemento neutro aditivo (vetor zero) desse espaço.

Passo 2

Lembrar os fatos e axiomas que vamos usar (cada um será usado explicitamente e explicado):
  • Existe um elemento neutro aditivo \overrightarrow{0} tal que, para todo vetor \vec{w},
\vec{w}+\overrightarrow{0}=\vec{w}.
  • Para todo vetor \vec{w} existe um inverso aditivo, denotado -\vec{w}, tal que
\vec{w}+(-\vec{w})=\overrightarrow{0}.
  • A soma de vetores é associativa: para quaisquer \vec{a},\vec{b},\vec{c},
(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).
Esses fatos são parte das propriedades básicas de uma estrutura com soma de vetores; vou usá-los passo a passo.

Passo 3

Intuição do método: queremos “eliminar” o \vec{u} do lado direito da igualdade \vec{u}+\vec{v}=\vec{u}. Para isso usamos o inverso aditivo de \vec{u}, isto é -\vec{u}. A ideia é somar -\vec{u} aos dois lados da igualdade — uma operação permitida porque a soma é bem definida e podemos somar o mesmo vetor em ambos os lados de uma igualdade.

Passo 4

Aplicar a soma de -\vec{u} aos dois lados:
(-\vec{u})+(\vec{u}+\vec{v}) = (-\vec{u})+\vec{u}.
Aqui foi usada apenas a propriedade de que, se A=B, então C+A=C+B ao escolher C=-\vec{u}, e que a soma está definida.

Passo 5

Usar associatividade da soma para rearranjar o lado esquerdo:
(-\vec{u})+(\vec{u}+\vec{v}) = ((-\vec{u})+\vec{u})+\vec{v}.
Pelo axioma do inverso aditivo, (-\vec{u})+\vec{u}=\overrightarrow{0}. Substituindo:
((-\vec{u})+\vec{u})+\vec{v}=\overrightarrow{0}+\vec{v}.
Pelo axioma do elemento neutro, \overrightarrow{0}+\vec{v}=\vec{v}. Logo o lado esquerdo inteiro vale \vec{v}.

Passo 6

Olhar o lado direito da igualdade anterior:
(-\vec{u})+\vec{u}=\overrightarrow{0}.
Portanto a igualdade do Passo 4 se transforma em
\vec{v}=\overrightarrow{0}.

Passo 7

Interpretação final: ao somar -\vec{u} em ambos os lados e usar associatividade, a parte \vec{u} cancela com seu inverso, restando \vec{v} de um lado e o vetor zero do outro. Assim \vec{v} é obrigatoriamente o vetor zero.

Resposta

\vec{v}=\overrightarrow{0}

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