Prove que:
implica
(unicidade do elemento neutro);
Passo 1
O enunciado dá que existem vetores
e
num espaço vetorial (ou num conjunto com operação de soma de vetores) tais que
A pergunta é: mostrar que necessariamente
, onde
é o elemento neutro aditivo (vetor zero) desse espaço.
Passo 2
Lembrar os fatos e axiomas que vamos usar (cada um será usado explicitamente e explicado):
- Existe um elemento neutro aditivo
tal que, para todo vetor ,
- Para todo vetor
existe um inverso aditivo, denotado , tal que
- A soma de vetores é associativa: para quaisquer
,
Esses fatos são parte das propriedades básicas de uma estrutura com soma de vetores; vou usá-los passo a passo.
Passo 3
Intuição do método: queremos “eliminar” o
do lado direito da igualdade
. Para isso usamos o inverso aditivo de
, isto é
. A ideia é somar
aos dois lados da igualdade — uma operação permitida porque a soma é bem definida e podemos somar o mesmo vetor em ambos os lados de uma igualdade.
Passo 4
Aplicar a soma de
aos dois lados:
Aqui foi usada apenas a propriedade de que, se
, então
ao escolher
, e que a soma está definida.
Passo 5
Usar associatividade da soma para rearranjar o lado esquerdo:
Pelo axioma do inverso aditivo,
. Substituindo:
Pelo axioma do elemento neutro,
. Logo o lado esquerdo inteiro vale
.
Passo 6
Olhar o lado direito da igualdade anterior:
Portanto a igualdade do Passo 4 se transforma em
Passo 7
Interpretação final: ao somar
em ambos os lados e usar associatividade, a parte
cancela com seu inverso, restando
de um lado e o vetor zero do outro. Assim
é obrigatoriamente o vetor zero.