Prove que:
se P+\vec{u}=P então \vec{u}=\overrightarrow{0};
Passo 1
O enunciado dá:
um ponto P;
um vetor \vec{u};
a igualdade entre ponto traduzido e o próprio ponto: P+\vec{u}=P.
O que se pede: provar que \vec{u}=\overrightarrow{0} (onde \overrightarrow{0} é o vetor nulo).
Passo 2
Vou lembrar e explicar as definições que vou usar (é importante entender cada símbolo).
Para dois pontos A e B, denota-se por \overrightarrow{AB} o vetor que vai de A para B. Esse vetor é a “seta” que desloca A até B.
Para um ponto X e um vetor \vec{v}, o símbolo X+\vec{v} indica o ponto obtido ao transladar X por \vec{v}. Ou seja, X+\vec{v} é o ponto que resulta quando se aplica o deslocamento \vec{v} a X.
O vetor nulo \overrightarrow{0} é definido como o vetor \overrightarrow{AA} (vetor que vai de um ponto A até ele mesmo). Para qualquer ponto X vale \overrightarrow{XX}=\overrightarrow{0} e também X+\overrightarrow{0}=X.
Passo 3
Propriedade-chave: para qualquer ponto X e qualquer vetor \vec{v} vale
\overrightarrow{X\,(X+\vec{v})}=\vec{v}.
Explicação intuitiva: o ponto X+\vec{v} é justamente o ponto obtido ao deslocar X por \vec{v}; portanto o vetor que leva X a X+\vec{v} é exatamente \vec{v}. Essa é a relação que liga a operação “somar um vetor a um ponto” com a noção de vetor entre dois pontos.
Passo 4
Aplicando a propriedade do Passo 3 ao nosso caso com X=P e \vec{v}=\vec{u}, obtemos
\overrightarrow{P\,(P+\vec{u})}=\vec{u}.
Passo 5
Agora use a igualdade inicial P+\vec{u}=P. Substituindo isso na expressão do passo anterior dá
Pelo Passo 4 o lado esquerdo é \vec{u}. Pelo Passo 2 sabemos que \overrightarrow{P P}=\overrightarrow{0}. Logo
\vec{u}=\overrightarrow{0}.
Passo 6
Comentário alternativo (mesma ideia, em coordenadas, para intuição): se representarmos o ponto P por seu vetor posição \vec{p}, então P+\vec{u} tem vetor posição \vec{p}+\vec{u}. A igualdade P+\vec{u}=P vira \vec{p}+\vec{u}=\vec{p}, e subtraindo \vec{p} dos dois lados obtemos \vec{u}=\overrightarrow{0}. É a mesma conclusão, só apresentada em linguagem de coordenadas.