Seja T: \mathbb{C}^{3} \rightarrow \mathbb{C}^{3} dada por
T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)=\left(z_{1}-z_{2}+2 z_{3}, 2 z_{1}+z_{2}-z_{3}, 2 z_{2}-2 z_{3}\right) .
(a) Mostre que T é linear.
(b) Qual é o posto de T ?
(c) Exiba o N u c T. Qual é a \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} N u c T ?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{C}^3\to\mathbb{C}^3 definida por
T\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right)=\left(z_{1}-z_{2}+2 z_{3},\;2 z_{1}+z_{2}-z_{3},\;2 z_{2}-2 z_{3}\right).
As perguntas são:
(a) Mostrar que T é linear (ou seja, verificar aditividade e homogeneidade).
(b) Determinar o posto (rank) de T.
(c) Exibir o núcleo ( \operatorname{Nuc}T) e determinar \dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Nuc}T.
Informações dadas que vamos usar:
  • A fórmula explícita de T em coordenadas (os três componentes em função de z_1,z_2,z_3).
  • O espaço de domínio tem dimensão 3 sobre \mathbb{C}.

Passo 2

Definição e verificação de linearidade (a).
  • Lembrete rápido do que significa ser linear: uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{C}^3 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{C}, valem
T(u+v)=T(u)+T(v) \quad\text{e}\quad T(\lambda u)=\lambda T(u).
  • Vamos verificar essas propriedades de forma direta usando a expressão componente a componente de T.
Sejam u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3). Então u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2,\;u_3+v_3) e
T(u+v)=\bigl((u_1+v_1)-(u_2+v_2)+2(u_3+v_3),\;\ldots,\;\ldots\bigr).
Calculando cada componente:
\begin{aligned} &\text{1ª comp.: }(u_1+v_1)-(u_2+v_2)+2(u_3+v_3)=(u_1-u_2+2u_3)+(v_1-v_2+2v_3),\\[4pt] &\text{2ª comp.: }2(u_1+v_1)+(u_2+v_2)-(u_3+v_3)=(2u_1+u_2-u_3)+(2v_1+v_2-v_3),\\[4pt] &\text{3ª comp.: }2(u_2+v_2)-2(u_3+v_3)=(2u_2-2u_3)+(2v_2-2v_3). \end{aligned}ªªª
Portanto
T(u+v)=T(u)+T(v).
Para homogeneidade, seja \lambda\in\mathbb{C}. Então
T(\lambda u)=\bigl(\lambda u_1-\lambda u_2+2\lambda u_3,\;\ldots,\;\ldots\bigr)=\lambda\bigl(u_1-u_2+2u_3,\;\ldots,\;\ldots\bigr)=\lambda T(u).
Concluímos que T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo T é linear.]

Passo 3

Matriz de T na base canônica e interpretação (preparando para calcular o posto).
  • Para trabalhar com posto e núcleo é prático escrever T como matriz A agindo por multiplicação em coordenadas colunas.
  • Imagem dos vetores canônicos:
    • T(1,0,0)=(1,2,0).
    • T(0,1,0)=(-1,1,2).
    • T(0,0,1)=(2,-1,-2).
  • Assim a matriz A de T (colunas são T(e_1),T(e_2),T(e_3)) é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Agora podemos usar essa matriz para calcular o posto e o núcleo resolvendo A z=0.]

Passo 4

Cálculo do determinante e conclusão sobre o posto.
  • Uma forma rápida de saber se A tem posto máximo ( 3) é calcular \det(A). Se \det(A)\neq 0, então A é inversível e \operatorname{rank}(A)=3.
  • Calculemos \det(A) expandindo por cofatores na primeira linha:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}=1\cdot(-2)-(-1)\cdot2=-2+2=0,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}=2\cdot(-2)-(-1)\cdot0=-4,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot0=4.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot 0 +1\cdot(-4)+2\cdot 4 = -4+8=4.
Como \det(A)=4\neq 0, a matriz A é inversível e portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Isso responde a parte (b): o posto de T é 3.]

Passo 5

Descrição do núcleo e sua dimensão (parte (c)) usando eliminação de Gauss e/ou o fato de \det(A)\neq 0.
  • Definição: o núcleo ( \operatorname{Nuc}T) é o conjunto de z=(z_1,z_2,z_3) tais que T(z)=0, ou seja, soluções do sistema linear A z=0.
  • Um fato importante: se A é inversível (isto é, \det(A)\neq 0), o único vetor que satisfaz A z=0 é o vetor nulo z=0. Portanto \operatorname{Nuc}T=\{(0,0,0)\}.
  • Para ser bem didático, mostro também a eliminação de Gauss rápido que confirma que só há a solução trivial. Começando com A e levando-a a forma triangular:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 3 & -5\\[4pt] 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}
(obtido por R_2\leftarrow R_2-2R_1). Depois
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 3 & -5\\[4pt] 0 & 0 & 4/3 \end{pmatrix}
(obtido por R_3\leftarrow R_3-(2/3)R_2). Como os pivôs são todos não nulos, a única solução de A z=0 é z_1=z_2=z_3=0.
  • Logo
\operatorname{Nuc}T=\{(0,0,0)\}, \quad\text{e}\quad \dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Nuc}T=0.
Também podemos confirmar a consistência com o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity): \dim(\mathbb{C}^3)=3=\operatorname{rank}(T)+\dim \operatorname{Nuc}T. Como \operatorname{rank}(T)=3, temos \dim \operatorname{Nuc}T=0.]

Resposta

(a) T é linear.
(b) \operatorname{rank}(T)=3.
(c) \operatorname{Nuc}T=\{(0,0,0)\}
\dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Nuc}T=0

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