As perguntas são:
(a) Mostrar que T é linear (ou seja, verificar aditividade e homogeneidade).
(b) Determinar o posto (rank) de T.
(c) Exibir o núcleo (\operatorname{Nuc}T) e determinar \dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Nuc}T.
Informações dadas que vamos usar:
A fórmula explícita de T em coordenadas (os três componentes em função de z_1,z_2,z_3).
O espaço de domínio tem dimensão 3 sobre \mathbb{C}.
Passo 2
Definição e verificação de linearidade (a).
Lembrete rápido do que significa ser linear: uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{C}^3 e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{C}, valem
Como \det(A)=4\neq 0, a matriz A é inversível e portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Isso responde a parte (b): o posto de T é 3.]
Passo 5
Descrição do núcleo e sua dimensão (parte (c)) usando eliminação de Gauss e/ou o fato de \det(A)\neq 0.
Definição: o núcleo (\operatorname{Nuc}T) é o conjunto de z=(z_1,z_2,z_3) tais que T(z)=0, ou seja, soluções do sistema linear A z=0.
Um fato importante: se A é inversível (isto é, \det(A)\neq 0), o único vetor que satisfaz A z=0 é o vetor nulo z=0. Portanto \operatorname{Nuc}T=\{(0,0,0)\}.
Para ser bem didático, mostro também a eliminação de Gauss rápido que confirma que só há a solução trivial. Começando com A e levando-a a forma triangular:
Também podemos confirmar a consistência com o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity): \dim(\mathbb{C}^3)=3=\operatorname{rank}(T)+\dim \operatorname{Nuc}T. Como \operatorname{rank}(T)=3, temos \dim \operatorname{Nuc}T=0.]
Resposta
(a) T é linear.
(b) \operatorname{rank}(T)=3.
(c) \operatorname{Nuc}T=\{(0,0,0)\} \dim_{\mathbb{C}}\operatorname{Nuc}T=0