Prove que os vetores u_{1}=(1,-3,2), u_{2}=(2,4,-1) e u_{3}=(1,-5,7) são linearmente dependentes.
Passo 1
O enunciado pede para provar que os vetores u_{1}=(1,-3,2), u_{2}=(2,4,-1) e u_{3}=(1,-5,7) são linearmente dependentes.
Informações dadas: os três vetores em \mathbb{R}^{3} acima.
Pergunta explícita: demonstrar que existe uma combinação linear não trivial que zera os vetores (isto é, encontrar escalares não todos nulos c_{1},c_{2},c_{3} tais que \;c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0).
Passo 2
O que significa “linearmente dependentes” (aulas rápidas, sem mistério):
Dizemos que os vetores u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente dependentes se existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, nem todos iguais a zero, tais que
c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0.
Caso a única solução do sistema acima seja c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, então os vetores são linearmente independentes.
Método prático que vamos usar: montar a equação vetorial homogênea acima e resolver o sistema linear associado para ver se existe solução não trivial. Vou mostrar passo a passo para você conseguir fazer parecido na prova.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear em coordenadas: queremos c_{1},c_{2},c_{3} tais que
Agora compare as duas expressões que obtivemos para c_{3}: pela segunda equação derivada encontramos c_{3}=5c_{2} e pela terceira encontramos c_{3}=c_{2}. Para que ambas sejam verdadeiras precisamos ter
c_{2}=5c_{2}.
Isso implica (5-1)c_{2}=0, ou seja 4c_{2}=0, logo c_{2}=0. Substituindo c_{2}=0 nas relações para c_{3} dá c_{3}=0. E então, da expressão c_{1}=-2c_{2}-c_{3} vem c_{1}=0. Portanto a única solução do sistema é
c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
Conclusão prática: não existe combinação linear não trivial que zere os vetores; eles são linearmente independentes.
Para reforçar (truque rápido que costuma cair na prova): podemos organizar os vetores como colunas da matriz
Como \det(A)=40\neq0, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes — mesma conclusão que pelo sistema. Esse é um atalho caro na prova: determinante não nulo → independência.]
Passo 6
Resumo final do raciocínio: resolvemos a equação homogênea c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0 e encontramos que a única solução é a trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Alternativamente, calculamos \det(A)=40\neq0. Em ambos os caminhos obtemos que os vetores são linearmente independentes, portanto a afirmação do enunciado (“são linearmente dependentes”) é falsa.
Resposta
Os vetores u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes (a única combinação linear que os zera é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0).