Prove que os vetores u_{1}=(1,-3,2), u_{2}=(2,4,-1) e u_{3}=(1,-5,7) são linearmente dependentes.

Passo 1

O enunciado pede para provar que os vetores u_{1}=(1,-3,2), u_{2}=(2,4,-1) e u_{3}=(1,-5,7) são linearmente dependentes.
Informações dadas: os três vetores em \mathbb{R}^{3} acima.
Pergunta explícita: demonstrar que existe uma combinação linear não trivial que zera os vetores (isto é, encontrar escalares não todos nulos c_{1},c_{2},c_{3} tais que \;c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0).

Passo 2

O que significa “linearmente dependentes” (aulas rápidas, sem mistério):
  • Dizemos que os vetores u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente dependentes se existem escalares c_{1},c_{2},c_{3}, nem todos iguais a zero, tais que
c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0.
  • Caso a única solução do sistema acima seja c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, então os vetores são linearmente independentes.
    Método prático que vamos usar: montar a equação vetorial homogênea acima e resolver o sistema linear associado para ver se existe solução não trivial. Vou mostrar passo a passo para você conseguir fazer parecido na prova.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear em coordenadas: queremos c_{1},c_{2},c_{3} tais que
c_{1}(1,-3,2)+c_{2}(2,4,-1)+c_{3}(1,-5,7)=(0,0,0).
Isto dá o sistema de três equações em três incógnitas (cada componente gera uma equação):
\begin{cases} c_{1}+2c_{2}+c_{3}=0,\\[4pt] -3c_{1}+4c_{2}-5c_{3}=0,\\[4pt] 2c_{1}-c_{2}+7c_{3}=0. \end{cases}
Agora vamos resolver esse sistema de forma clara e sem pular passos.]

Passo 4

Isolando c_{1} pela primeira equação para simplificar substituições: da primeira equação temos
c_{1}=-2c_{2}-c_{3}.
Substituímos esse c_{1} nas segunda e terceira equações.
Substituição na segunda equação:
-3c_{1}+4c_{2}-5c_{3}=0
substitui c_{1}=-2c_{2}-c_{3}:
-3(-2c_{2}-c_{3})+4c_{2}-5c_{3}=0.
Desenvolvendo os parênteses:
6c_{2}+3c_{3}+4c_{2}-5c_{3}=0.
Somando termos semelhantes:
(6c_{2}+4c_{2})+(3c_{3}-5c_{3})=0 \quad\Rightarrow\quad 10c_{2}-2c_{3}=0.
Dividindo por 2:
5c_{2}-c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{3}=5c_{2}.
Substituição na terceira equação:
2c_{1}-c_{2}+7c_{3}=0
substitui c_{1}=-2c_{2}-c_{3}:
2(-2c_{2}-c_{3})-c_{2}+7c_{3}=0.
Desenvolvendo:
-4c_{2}-2c_{3}-c_{2}+7c_{3}=0.
Somando termos semelhantes:
(-4c_{2}-c_{2})+(-2c_{3}+7c_{3})=0 \quad\Rightarrow\quad -5c_{2}+5c_{3}=0.
Dividindo por 5:
-c_{2}+c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{3}=c_{2}.

Passo 5

Agora compare as duas expressões que obtivemos para c_{3}: pela segunda equação derivada encontramos c_{3}=5c_{2} e pela terceira encontramos c_{3}=c_{2}. Para que ambas sejam verdadeiras precisamos ter
c_{2}=5c_{2}.
Isso implica (5-1)c_{2}=0, ou seja 4c_{2}=0, logo c_{2}=0. Substituindo c_{2}=0 nas relações para c_{3} c_{3}=0. E então, da expressão c_{1}=-2c_{2}-c_{3} vem c_{1}=0. Portanto a única solução do sistema é
c_{1}=c_{2}=c_{3}=0.
Conclusão prática: não existe combinação linear não trivial que zere os vetores; eles são linearmente independentes.
Para reforçar (truque rápido que costuma cair na prova): podemos organizar os vetores como colunas da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] -3 & 4 & -5\\[4pt] 2 & -1 & 7 \end{pmatrix}
e calcular o determinante. Se \det(A)\neq 0, as colunas são linearmente independentes. Calculando o determinante (mostrar cálculo):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -5\\[4pt]-1 & 7\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -5\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & 4\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
Agora calcula cada 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & -5\\[4pt]-1 & 7\end{pmatrix}=4\cdot7-(-5)(-1)=28-5=23,
\det\begin{pmatrix}-3 & -5\\[4pt]2 & 7\end{pmatrix}=(-3)\cdot7-(-5)\cdot2=-21+10=-11,
\det\begin{pmatrix}-3 & 4\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}=(-3)(-1)-4\cdot2=3-8=-5.
Substituindo:
\det(A)=1\cdot23-2\cdot(-11)+1\cdot(-5)=23+22-5=40.
Como \det(A)=40\neq0, a matriz é invertível e as colunas são linearmente independentes — mesma conclusão que pelo sistema. Esse é um atalho caro na prova: determinante não nulo → independência.]

Passo 6

Resumo final do raciocínio: resolvemos a equação homogênea c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}+c_{3}u_{3}=0 e encontramos que a única solução é a trivial c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Alternativamente, calculamos \det(A)=40\neq0. Em ambos os caminhos obtemos que os vetores são linearmente independentes, portanto a afirmação do enunciado (“são linearmente dependentes”) é falsa.

Resposta

Os vetores u_{1},u_{2},u_{3} são linearmente independentes (a única combinação linear que os zera é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0).

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