Mostre que
onde
e
; mas, essa soma não é direta.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que
, onde e . - Mostrar que essa soma não é direta.
Informações dadas:
- Qualquer vetor de
tem terceira componente : um elemento genérico de é . - Qualquer vetor de
tem primeira componente : um elemento genérico de é . - A soma
é, por definição, o conjunto .
Passo 2
Vou lembrar conceitos importantes (rapidinho, como uma aulinha curta):
- Definição de soma de subespaços:
. Isso significa que para mostrar preciso provar duas inclusões: e . - Definição de soma direta: dizemos que a soma é direta (escreve-se
) quando cada vetor de tem uma única escrita com . Um critério fácil de usar: se, e somente se, . Então, para mostrar que a soma não é direta basta achar um vetor não nulo que pertença a .
Passo 3
Mostrando
.
- Pegue um vetor arbitrário de
, escreva-o como com . - Defina
. Observação: porque tem terceira componente . - Defina
. Observação: porque é da forma com e . - Agora calcule
. - Conclusão desta etapa: qualquer
pode ser escrito como soma de um elemento de e um de . Portanto .
Passo 4
Mostrando
.
- Isto é imediato porque
e . Soma de vetores de está em . - Logo
.
Passo 5
Conclusão da igualdade.
- Das inclusões dos passos anteriores obtemos
. Em palavras: qualquer vetor de é soma de um vetor cujo terceiro componente é zero e de um vetor cujo primeiro componente é zero.
Passo 6
Agora vou mostrar que a soma não é direta, usando o critério da interseção.
- Tome
. Então pode ser escrito tanto como (pois ) quanto como (pois ). - Igualando as coordenadas obtemos
- Portanto todo vetor em
tem a forma com . Em outras palavras - Essa interseção contém vetores não nulos (por exemplo
), logo .
Passo 7
Interpretação e exemplo de não unicidade.
- Como
tem elementos não nulos, a decomposição de um vetor em soma de algo de com algo de não é única. - Exemplo concreto: o vetor
pode ser escrito como com e ; mas também com e . As duas escritas são distintas porque os termos não são iguais, mostrando falta de unicidade.
Resposta
A soma não é direta, pois