Mostre que \mathbb{R}^{3}=U+W onde U=\{(a, b, 0): a, b \in \mathbb{R}\} e W= \{(0, c, d): c, d \in \mathbb{R}\}; mas, essa soma não é direta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que \mathbb{R}^{3}=U+W, onde U=\{(a,b,0):a,b\in\mathbb{R}\} e W=\{(0,c,d):c,d\in\mathbb{R}\}.
  2. Mostrar que essa soma não é direta.
Informações dadas:
  • Qualquer vetor de U tem terceira componente 0: um elemento genérico de U é (a,b,0).
  • Qualquer vetor de W tem primeira componente 0: um elemento genérico de W é (0,c,d).
  • A soma U+W é, por definição, o conjunto \{u+w \mid u\in U,\; w\in W\}.

Passo 2

Vou lembrar conceitos importantes (rapidinho, como uma aulinha curta):
  • Definição de soma de subespaços: \displaystyle U+W=\{u+w \mid u\in U,\; w\in W\}. Isso significa que para mostrar \mathbb{R}^3=U+W preciso provar duas inclusões: \mathbb{R}^3\subseteq U+W e U+W\subseteq\mathbb{R}^3.
  • Definição de soma direta: dizemos que a soma é direta (escreve-se U\oplus W) quando cada vetor de U+W tem uma única escrita u+w com u\in U,\;w\in W. Um critério fácil de usar: U\oplus W se, e somente se, U\cap W=\{(0,0,0)\}. Então, para mostrar que a soma não é direta basta achar um vetor não nulo que pertença a U\cap W.

Passo 3

Mostrando \mathbb{R}^3\subseteq U+W.
  • Pegue um vetor arbitrário de \mathbb{R}^3, escreva-o como (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{R}.
  • Defina u=(x,y,0). Observação: u\in U porque tem terceira componente 0.
  • Defina w=(0,0,z). Observação: w\in W porque é da forma (0,c,d) com c=0 e d=z.
  • Agora calcule u+w=(x,y,0)+(0,0,z)=(x,y,z).
  • Conclusão desta etapa: qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como soma de um elemento de U e um de W. Portanto \mathbb{R}^3\subseteq U+W.

Passo 4

Mostrando U+W\subseteq\mathbb{R}^3.
  • Isto é imediato porque U\subseteq\mathbb{R}^3 e W\subseteq\mathbb{R}^3. Soma de vetores de \mathbb{R}^3 está em \mathbb{R}^3.
  • Logo U+W\subseteq\mathbb{R}^3.

Passo 5

Conclusão da igualdade.
  • Das inclusões dos passos anteriores obtemos \mathbb{R}^3=U+W. Em palavras: qualquer vetor de \mathbb{R}^3 é soma de um vetor cujo terceiro componente é zero e de um vetor cujo primeiro componente é zero.

Passo 6

Agora vou mostrar que a soma não é direta, usando o critério da interseção.
  • Tome v\in U\cap W. Então v pode ser escrito tanto como v=(a,b,0) (pois v\in U) quanto como v=(0,c,d) (pois v\in W).
  • Igualando as coordenadas obtemos (a,b,0)=(0,c,d)\quad\Longrightarrow\quad a=0,\; b=c,\; 0=d.
  • Portanto todo vetor em U\cap W tem a forma (0,b,0) com b\in\mathbb{R}. Em outras palavras U\cap W=\{(0,b,0):b\in\mathbb{R}\}.
  • Essa interseção contém vetores não nulos (por exemplo (0,1,0)), logo U\cap W\neq\{(0,0,0)\}.

Passo 7

Interpretação e exemplo de não unicidade.
  • Como U\cap W tem elementos não nulos, a decomposição de um vetor em soma de algo de U com algo de W não é única.
  • Exemplo concreto: o vetor (0,1,0) pode ser escrito como (0,1,0)=(0,1,0)+(0,0,0)com (0,1,0)\in U e (0,0,0)\in W; mas também (0,1,0)=(0,0,0)+(0,1,0)com (0,1,0)\in W e (0,0,0)\in U. As duas escritas são distintas porque os termos não são iguais, mostrando falta de unicidade.

Resposta

\mathbb{R}^{3}=U+W
A soma não é direta, pois U\cap W=\{(0,b,0):b\in\mathbb{R}\}\neq\{(0,0,0)\}.

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