A norma do vetor \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{6}}, \frac{\cos \theta}{\sqrt{6}}, \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right) é:
Escolha uma opção:
O.a. 2
O b. 3
Oc. 1
O d. 5
O. e. 4
Finalizar tentativa …

Passo 1

O enunciado dá o vetor
\left(\frac{\sin\theta}{\sqrt{6}},\;\frac{\cos\theta}{\sqrt{6}},\;\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)
e pede a norma (comprimento) desse vetor. Informações relevantes: cada componente do vetor está explícita em função de \theta e de constantes; precisamos retornar um único número correspondente à norma.

Passo 2

Definição que vamos usar (passo-a-passo): para um vetor (v_{1},v_{2},v_{3}) em \mathbb{R}^{3}, a norma euclidiana (comprimento) é dada por
\|v\| = \sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}.
Aqui v_{1},v_{2},v_{3} são as componentes do vetor, e a fórmula soma os quadrados das componentes e depois tira a raiz quadrada para obter a distância da origem até o ponto representado pelo vetor. É como aplicar o teorema de Pitágoras em 3D.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao vetor dado, escrevemos a norma como
\left\|\left(\frac{\sin\theta}{\sqrt{6}},\frac{\cos\theta}{\sqrt{6}},\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)\right\| = \sqrt{\left(\frac{\sin\theta}{\sqrt{6}}\right)^{2}+\left(\frac{\cos\theta}{\sqrt{6}}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)^{2}}.
Agora vamos simplificar cada termo dentro da raiz, um por um.

Passo 4

Calculemos os quadrados dos termos:
\left(\frac{\sin\theta}{\sqrt{6}}\right)^{2}=\frac{\sin^{2}\theta}{6}, \qquad \left(\frac{\cos\theta}{\sqrt{6}}\right)^{2}=\frac{\cos^{2}\theta}{6}, \qquad \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\right)^{2}=\frac{5}{6}.
No último caso o quadrado cancela a raiz: (\sqrt{5})^{2}=5 e (\sqrt{6})^{2}=6.

Passo 5

Somando os três termos dentro da raiz obtemos
\frac{\sin^{2}\theta}{6}+\frac{\cos^{2}\theta}{6}+\frac{5}{6} = \frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta+5}{6}.
Usamos agora a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1. Substituindo:
\frac{1+5}{6}=\frac{6}{6}=1.

Passo 6

Portanto a norma é a raiz quadrada desse valor:
\|v\|=\sqrt{1}=1.
Observação didática: a norma não depende de \theta porque os termos com \sin\theta e \cos\theta somam 1; geometricamente isso significa que o vetor dado é um vetor unitário (comprimento igual a 1). Força — você já concluiu o cálculo!

Resposta

(c) 1

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