• Prove que
x=A e^{-\left(\frac{b}{2 m}\right) t} \cos \left(\omega^{\prime} t+\varphi\right)
  • é solução de
-k x-b \frac{d x}{d t}=m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
x = A e^{-\left(\frac{b}{2m}\right)t}\cos\bigl(\omega' t + \varphi\bigr)
satisfaz a equação
m\frac{d^2 x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0,
que é equivalente a
-kx - b\frac{dx}{dt} = m\frac{d^2 x}{dt^2}.
Aqui vamos usar duas coisas: a definição \displaystyle \gamma=\frac{b}{2m}
e a relação do pulsar amortecido \displaystyle \omega'^2=\frac{k}{m}-\gamma^2.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada usando regra do produto e cadeia. Chamando \theta=\omega' t+\varphi e \gamma=\tfrac{b}{2m},
x = A e^{-\gamma t}\cos\theta
então
\frac{dx}{dt} = A\bigl(-\gamma e^{-\gamma t}\cos\theta + e^{-\gamma t}(-\omega'\sin\theta)\bigr) = A e^{-\gamma t}\bigl(-\gamma\cos\theta - \omega'\sin\theta\bigr).

Passo 3

Agora a segunda derivada. Diferenciando \displaystyle x' = A e^{-\gamma t}(-\gamma\cos\theta - \omega'\sin\theta),
\frac{d^2x}{dt^2} = A\Bigl(-\gamma e^{-\gamma t}(-\gamma\cos\theta - \omega'\sin\theta) + e^{-\gamma t}\bigl(\gamma\omega'\sin\theta - \omega'^2\cos\theta\bigr)\Bigr).
Reagrupando termos,
\frac{d^2x}{dt^2} = A e^{-\gamma t}\bigl(\gamma^2\cos\theta +2\gamma\omega'\sin\theta - \omega'^2\cos\theta\bigr).

Passo 4

Substituímos em m x'' + b x' + kx:
m\frac{d^2x}{dt^2} = A e^{-\gamma t}\bigl(m\gamma^2\cos\theta +2m\gamma\omega'\sin\theta - m\omega'^2\cos\theta\bigr),
b\frac{dx}{dt} = A e^{-\gamma t}\bigl(-b\gamma\cos\theta - b\omega'\sin\theta\bigr),
kx = A e^{-\gamma t}\,k\cos\theta.
Somando tudo, o coeficiente de \sin\theta é \displaystyle A e^{-\gamma t}\,\omega'(2m\gamma - b)=0 pois 2m\gamma=b.
O coeficiente de \cos\theta é
A e^{-\gamma t}\bigl(m\gamma^2 - m\omega'^2 - b\gamma + k\bigr) = A e^{-\gamma t}\bigl(m\gamma^2 - b\gamma + k - m\omega'^2\bigr).
Como \omega'^2=\tfrac{k}{m}-\gamma^2, tem-se
m\gamma^2 - b\gamma + k - m\Bigl(\tfrac{k}{m}-\gamma^2\Bigr) = m\gamma^2 - b\gamma + k - k + m\gamma^2 =2m\gamma^2 - b\gamma =2m\gamma^2 - 2m\gamma^2 =0.
Logo m x'' + b x' + kx=0.

Resposta

A função
x = A e^{-\left(\frac{b}{2m}\right)t}\cos\bigl(\omega' t + \varphi\bigr)
satisfaz a equação
-kx - b\frac{dx}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2}.

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