Para se provocar a emissão de elétrons pelos átomos de césio de uma superfície metálica é necessária a energia de 2,0 \times 10^{2} \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}. Calcule o comprimento de onda mais longo possível da luz que pode ionizar um átomo de césio. Em que região de espectro eletromagnético está esta radiação?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular o comprimento de onda mais longo da luz que pode arrancar elétrons (ionizar) um átomo de césio quando a energia necessária é \;2,0\times 10^{2}\\ \mathrm{kJ/mol}; (2) informar em que região do espectro eletromagnético essa radiação se encontra.
Informações dadas (resumidas):
\text{Energia por mol} = 2,0\times 10^{2}\\ \mathrm{kJ/mol}.
Não há outras informações externas — usaremos constantes universais conhecidas (constante de Avogadro, constante de Planck e velocidade da luz).

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a energia fornecida para unidades do SI (joules por mol). Lembre-se que 1\\ \mathrm{kJ}=10^{3}\\ \mathrm{J}. Assim:
W = 2,0\times 10^{2}\\ \mathrm{kJ/mol} = 2,0\times 10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.
Explicação didática: convertendo para joules ficamos com a mesma grandeza usada nas constantes físicas ( \mathrm{J},\\ \mathrm{s},\\ \mathrm{m}), o que facilita os cálculos.

Passo 3

Agora precisamos da energia por fóton (um fóton = energia que pode arrancar um elétron de UM átomo). Para isso dividimos a energia por mol pelo número de partículas por mol (constante de Avogadro). A constante de Avogadro vale aproximadamente \;N_A = 6,022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}. Logo:
E_{\text{fóton}}=\frac{W}{N_A}=\frac{2,0\times 10^{5}\\ \mathrm{J/mol}}{6,022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}}.ó
Fazendo a divisão (mostrando o raciocínio):
\frac{2,0}{6,022}\approx 0,3323,\quad\text{e os expoentes }10^{5-23}=10^{-18},
portanto
E_{\text{fóton}}\approx 0,3323\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}=3,323\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Breve explicação: dividir por N_A transforma “por mol” em “por partícula (fóton/átomo)”.

Passo 4

Relação entre energia do fóton e comprimento de onda: a energia de um fóton está dada por
E=\frac{hc}{\lambda},
onde:
  • E é a energia do fóton (em \mathrm{J}),
  • h é a constante de Planck ( h\approx 6,626\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}),
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 2,998\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}),
  • \lambda é o comprimento de onda (em \mathrm{m}).
    Queremos o comprimento de onda mais longo capaz de fornecer essa energia, ou seja, a igualdade acima com E=E_{\text{fóton}}ó. Isolando \lambda:
\lambda=\frac{hc}{E_{\text{fóton}}}.ó

Passo 5

Calcular numericamente hc e depois \lambda. Primeiro hc:
hc=(6,626\times 10^{-34})(2,998\times 10^{8})\\ \mathrm{J\,m}\approx 1,986\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Agora substituímos em \lambda=\dfrac{hc}{E_{\text{fóton}}}ó:
\lambda=\frac{1,986\times 10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}}{3,323\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}}.
Fazendo a divisão de coeficientes e subtraindo expoentes:
\frac{1,986}{3,323}\approx 0,598,\quad 10^{-25-(-19)}=10^{-6},
logo
\lambda\approx 0,598\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}=5,98\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converter para unidades usuais (nanômetros): 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}, então
\lambda\approx 5,98\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}=598\\ \mathrm{nm}.
Observação sobre algarismos significativos: o dado inicial tem duas cifras significativas ( 2,0\times10^{2}), então podemos arredondar para aproximadamente 6,0\times10^{-7}\\ \mathrm{m} ou 600\\ \mathrm{nm} se preferir 2 algarismos significativos.

Passo 6

Determinar a região do espectro: o espectro visível está aproximadamente entre 400\\ \mathrm{nm} e 700\\ \mathrm{nm}. O valor calculado, \lambda\approx 598\\ \mathrm{nm}, cai bem dentro dessa faixa, na região amarela/alaranjada do visível (próximo do laranja). Portanto a radiação é luz visível (tons de amarelo-laranja).
Dica motivacional: você conseguiu transformar energia por mol em energia por fóton e usar a fórmula fundamental E=hc/\lambda — técnica muito usada em fotoemissão e física atômica. Vai dar certo na prova!

Resposta

\lambda_{\max}=5,98\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}=598\\ \mathrm{nm}.
Visível (região amarela/alaranjada, aproximadamente).

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