OS PRÓXIMOS PROBLEMAS DEVEM SER RESOLVIDOS USANDO A LEI DE GAUSS
O modelo de Thomson, conhecido como pudim de ameixas, suponha que o átomo era formado por uma carga positiva distribuida de forma homogênea num volume esférico de raio R onde os eletrons estariam incrustados. Considere o modelo de Thomson para o hidrogênio. (a) Qual é o campo eléttrico a uma distância r>R ? (b) Qual é o campo elétrico dentro do átomo, a uma distância r do centro?

Passo 1

O enunciado descreve o modelo de Thomson para o átomo de hidrogênio, em que toda a carga positiva +e está distribuída de modo uniforme num volume esférico de raio R e a carga negativa -e (o elétron) está “incrustada” nesse volume. Precisamos usar a lei de Gauss para achar o campo elétrico E(r) (a) fora da esfera, isto é para r>R, e (b) dentro da esfera, para r<R.

Passo 2

Vamos determinar a densidade volumétrica de carga positiva. Como o total de carga positiva é +e distribuído uniformemente num volume esférico de raio R,
rho = etfrac43pi R^3

Passo 3

Para r>R tomamos uma superfície gaussiana esférica de raio r. Ela encerra toda a carga positiva +e e também a carga negativa -e (o elétron), de modo que a carga líquida dentro da gaussiana é
Qrm enc = +e +(-e) = 0
Pela lei de Gauss,
oint Ecdot dA = Qrm encvarepsilon0 Longrightarrow E(4pi r^2) = 0 Longrightarrow E(r) = 0(para r>R)

Passo 4

Para r<R a superfície gaussiana de raio r engloba apenas parte da carga positiva. A carga positiva encerrada é
Qrm enc^+(r) = rho;43pi r^3 = e,r^3R^3
O elétron inteiro está fora dessa superfície (supondo-o em repouso num ponto distinto), então a carga líquida interna é Qrm enc=Qrm enc^+(r). Aplicando Gauss:
E(4pi r^2) = Qrm encvarepsilon0 = e,r^3/R^3varepsilon0 Longrightarrow E(r) = 14pivarepsilon0,eR^3,r,
com direção radial (restauradora se considerarmos o elétron deslocado do centro).

Resposta

(a) Para r>R:
E(r)=0
(b) Para r<R:
E(r)=14pivarepsilon0,eR^3,r

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