4 (a) Se \psi_{a} e \psi_{b} são ortogonais, e ambas normalizadas, qual é o valor da constante A na Equação 5.10?
(b) Se \psi_{a}=\psi_{b} (e é normalizada), qual é o valor de A ? (Isso ocorre somente com os bósons, é claro.)

Passo 1

O enunciado pede os valores da constante de normalização A para a função de dois corpos dada pela Equação 5.10, nos dois casos:
  • (a) \psi_a e \psi_b são ortogonais e ambas normalizadas;
  • (b) \psi_a=\psi_b (a mesma função normalizada).
O enunciado também implica que a forma da função de dois corpos (Equação 5.10) é a combinação (simétrica ou antissimétrica)
\Psi(1,2)=A\bigl[\psi_a(1)\psi_b(2)\pm\psi_a(2)\psi_b(1)\bigr],
onde o sinal + corresponde à combinação simétrica (bósons) e o sinal - corresponde à combinação antissimétrica (férmions). As notações usadas aqui são:
\psi_a(1)\equiv\psi_a(x_1),\qquad \psi_b(2)\equiv\psi_b(x_2).
As condições dadas: \psi_a e \psi_b são normalizadas, isto é
\int |\psi_a(x)|^2\,dx = 1,\qquad \int |\psi_b(x)|^2\,dx = 1.
No caso (a) há ainda ortogonalidade:
\int \psi_a^*(x)\psi_b(x)\,dx = 0.
O que se pede: determinar A para que \Psi(1,2) esteja normalizada:
\int |\Psi(1,2)|^2\,dx_1dx_2 = 1.

Passo 2

Vou definir o solapamento (overlap) entre \psi_a e \psi_b, que será útil para um cálculo geral:
S \equiv \int \psi_a^*(x)\psi_b(x)\,dx.
Esse número complexo mede quanto as duas funções se sobrepõem. Para funções normalizadas, |S|\le 1. Nos casos do enunciado:
  • (a) ortogonalidade \Rightarrow S=0;
  • (b) idênticas e normalizadas \Rightarrow S=1.

Passo 3

Escrevemos a condição de normalização explícita para \Psi. Primeiro escrevo |\Psi|^2 e integro:
1=\int |\Psi(1,2)|^2\,dx_1dx_2 =|A|^2\int \bigl|\psi_a(1)\psi_b(2)\pm\psi_a(2)\psi_b(1)\bigr|^2 dx_1dx_2.
Vou expandir o quadrado do módulo (lembrando que |u\pm v|^2=|u|^2+|v|^2\pm u^*v\pm v^*u):
\begin{aligned} \bigl|\psi_a(1)\psi_b(2)\pm\psi_a(2)\psi_b(1)\bigr|^2 &=|\psi_a(1)\psi_b(2)|^2+|\psi_a(2)\psi_b(1)|^2\\\ &\qquad\pm\psi_a^*(1)\psi_b^*(2)\psi_a(2)\psi_b(1)\pm\psi_a^*(2)\psi_b^*(1)\psi_a(1)\psi_b(2). \end{aligned}

Passo 4

Integro termo a termo e uso que as integrais se fatoram quando as variáveis são independentes.
Primeiro dois termos diagonais:
\int |\psi_a(1)\psi_b(2)|^2 dx_1dx_2 =\Bigl(\int |\psi_a(1)|^2 dx_1\Bigr)\Bigl(\int |\psi_b(2)|^2 dx_2\Bigr)=1\cdot1=1,
e de modo idêntico
\int |\psi_a(2)\psi_b(1)|^2 dx_1dx_2 = 1.
Portanto a soma dos dois termos diagonais dá 2.
Agora o termo cruzado (um deles; o outro é o conjugado):
I\equiv\int \psi_a^*(1)\psi_b^*(2)\psi_a(2)\psi_b(1)\,dx_1dx_2.
Esse integral fatoriza:
I=\Bigl(\int \psi_a^*(1)\psi_b(1)\,dx_1\Bigr)\Bigl(\int \psi_b^*(2)\psi_a(2)\,dx_2\Bigr)=S\cdot S^* = |S|^2.
O outro termo cruzado é o complexo-conjugado de I, logo ao somá-los obtemos I+I^*=2\Re(I)=2|S|^2 (pois I=|S|^2 é real não-negativo).

Passo 5

Recolhendo tudo na condição de normalização:
1=|A|^2\bigl[2\pm 2|S|^2\bigr]=|A|^2\cdot 2\bigl(1\pm|S|^2\bigr).
Logo
|A|^2=\frac{1}{2\bigl(1\pm|S|^2\bigr)}.
Podemos escolher A real e positivo (fase global irrelevante), obtendo a forma padrão
A=\frac{1}{\sqrt{2\bigl(1\pm|S|^2\bigr)}}.
Esta é a expressão geral válida tanto para o sinal + (sím.) quanto para o sinal - (antisim.).

Passo 6

Agora aplico aos casos pedidos.
(a) Se \psi_a e \psi_b são ortogonais então, como escrito no Passo 2, S=0. Substituindo em
A=\frac{1}{\sqrt{2\bigl(1\pm|S|^2\bigr)}}
vem
A=\frac{1}{\sqrt{2(1\pm 0)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Observação: aqui o valor não depende do sinal + ou -; tanto para bósons quanto para férmions, a normalização é 1/\sqrt{2} quando os estados únicos são ortogonais.

Passo 7

(b) Se \psi_a=\psi_b=\psi e \psi está normalizada, então S=1. Substituindo:
|A|^2=\frac{1}{2(1\pm 1)}.
  • Para a combinação simétrica (bósons, sinal +):
|A|^2=\frac{1}{2(1+1)}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{2}.
Isto também pode ser visto diretamente: a combinação simétrica vira A[\,\psi(1)\psi(2)+\psi(2)\psi(1)\,]=2A\,\psi(1)\psi(2); normalizando 2A ao quadrado deve ser 1, então A=1/2.
  • Para a combinação antissimétrica (férmions, sinal -):
|A|^2=\frac{1}{2(1-1)}=\frac{1}{0},
ou seja, a expressão diverge: a combinação antissimétrica com \psi_a=\psi_b é a função identicamente nula (porque \psi(1)\psi(2)-\psi(2)\psi(1)=0), não existe estado normalizável assim — isso é a manifestação do princípio de exclusão de Pauli para férmions. Por isso o caso \psi_a=\psi_b só faz sentido (para dar um estado normalizável não nulo) no caso de bósons.

Passo 8

Resumo físico curto (motivacional): a constante A ajusta o fator de amplitude para que a função de dois corpos tenha norma 1. Quando os estados únicos não se sobrepõem, o fator é simplesmente 1/\sqrt{2}. Quando os dois ocupam exatamente o mesmo estado (caso dos bósons), a simetrização duplica a amplitude e o fator de normalização cai para 1/2. Para férmions, a tentativa de colocar os dois no mesmo estado dá zero — regra da exclusão.

Resposta

(a) A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
(b) Para bósons (combinação simétrica): A=\dfrac{1}{2}. Para férmions (combinação antissimétrica): não existe estado normalizável (a função é identicamente zero).

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