4 (a) Se \psi_{a} e \psi_{b} são ortogonais, e ambas normalizadas, qual é o valor da constante A na Equação 5.10?
(b) Se \psi_{a}=\psi_{b} (e é normalizada), qual é o valor de A ? (Isso ocorre somente com os bósons, é claro.)
Passo 1
O enunciado pede os valores da constante de normalização A para a função de dois corpos dada pela Equação 5.10, nos dois casos:
(a) \psi_a e \psi_b são ortogonais e ambas normalizadas;
(b) \psi_a=\psi_b (a mesma função normalizada).
O enunciado também implica que a forma da função de dois corpos (Equação 5.10) é a combinação (simétrica ou antissimétrica)
onde o sinal + corresponde à combinação simétrica (bósons) e o sinal - corresponde à combinação antissimétrica (férmions). As notações usadas aqui são:
Podemos escolher A real e positivo (fase global irrelevante), obtendo a forma padrão
A=\frac{1}{\sqrt{2\bigl(1\pm|S|^2\bigr)}}.
Esta é a expressão geral válida tanto para o sinal + (sím.) quanto para o sinal - (antisim.).
Passo 6
Agora aplico aos casos pedidos.
(a) Se \psi_a e \psi_b são ortogonais então, como escrito no Passo 2, S=0. Substituindo em
A=\frac{1}{\sqrt{2\bigl(1\pm|S|^2\bigr)}}
vem
A=\frac{1}{\sqrt{2(1\pm 0)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Observação: aqui o valor não depende do sinal + ou -; tanto para bósons quanto para férmions, a normalização é 1/\sqrt{2} quando os estados únicos são ortogonais.
Passo 7
(b) Se \psi_a=\psi_b=\psi e \psi está normalizada, então S=1. Substituindo:
Isto também pode ser visto diretamente: a combinação simétrica vira A[\,\psi(1)\psi(2)+\psi(2)\psi(1)\,]=2A\,\psi(1)\psi(2); normalizando 2A ao quadrado deve ser 1, então A=1/2.
Para a combinação antissimétrica (férmions, sinal -):
|A|^2=\frac{1}{2(1-1)}=\frac{1}{0},
ou seja, a expressão diverge: a combinação antissimétrica com \psi_a=\psi_b é a função identicamente nula (porque \psi(1)\psi(2)-\psi(2)\psi(1)=0), não existe estado normalizável assim — isso é a manifestação do princípio de exclusão de Pauli para férmions. Por isso o caso \psi_a=\psi_b só faz sentido (para dar um estado normalizável não nulo) no caso de bósons.
Passo 8
Resumo físico curto (motivacional): a constante A ajusta o fator de amplitude para que a função de dois corpos tenha norma 1. Quando os estados únicos não se sobrepõem, o fator é simplesmente 1/\sqrt{2}. Quando os dois ocupam exatamente o mesmo estado (caso dos bósons), a simetrização duplica a amplitude e o fator de normalização cai para 1/2. Para férmions, a tentativa de colocar os dois no mesmo estado dá zero — regra da exclusão.
Resposta
(a) A=\dfrac{1}{\sqrt{2}}
(b) Para bósons (combinação simétrica): A=\dfrac{1}{2}. Para férmions (combinação antissimétrica): não existe estado normalizável (a função é identicamente zero).