3 O cloro possui dois isótopos naturais,
e
. Demonstre que o espectro vibracional de HCl deve consistir de dubletos proximamente separados, com uma separação dada por
, em que
é a frequência do fóton emitido.
Díca: considere-o como um oscilador harmônico,
, em que
é a massa reduzida (Equação 5.8) e
é, provavelmente, o mesmo para ambos os isótopos.
Díca: considere-o como um oscilador harmônico,
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração numérica:
- O cloro tem dois isótopos naturais,
e . - Modelar a molécula HCl como um oscilador harmônico com
onde
é a massa reduzida e
é constante para ambos os isótopos (o mesmo potencial liga).
- A tarefa: demonstrar que o espectro vibracional de HCl consiste em dubletos próximos, com separação
onde
é a frequência do fóton emitido (ou seja, mostrar que
).
Passo 2
Lembrando o conceito de massa reduzida: para duas massas
(hidrogênio) e
(cloro) a massa reduzida é
Explicação didática curta: no movimento vibracional relativo de duas partículas ligadas por uma “mola”, a equação do movimento é equivalente à de uma partícula única com massa
sujeita à mesma constante elástica
. Por isso a frequência natural do oscilador depende de
.
Para a frequência de fóton associada à vibração usamos
. Como
depende de
por raiz quadrada, concluímos que a frequência vibracional segue
Passo 3
Comparar as frequências para os dois isótopos. Seja
a massa reduzida para H
Cl e
a massa reduzida para H
Cl. Chamemos
a frequência do isótopo leve (Cl
). Então a frequência do isótopo pesado é
Como
é pequeno, usamos a expansão de binômio em primeira ordem:
Tomando
obtemos
A separação absoluta entre as linhas (valor positivo) é
Portanto a fração procurada é
Resumo: basta calcular
entre H
Cl e H
Cl.
Passo 4
Calcular
para os dois isotopólogos. Para simplicidade e porque a diferença de massa é pequena, usar massas atômicas aproximadas em unidades atômicas (u):
,
,
. (Essa aproximação é suficientemente precisa para obter o fator numérico pedido.)
Calculemos as massas reduzidas:
Logo
e a razão relativa (usando
como referência) é
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Arredondando conforme o enunciado, isto dá
ou seja
Passo 5
Interpretação física e conclusão didática: como os dois isótopos de cloro dão massas reduzidas ligeiramente diferentes, a frequência vibracional muda um pouco entre H
Cl e H
Cl. Isso produz pares (dubletos) de linhas muito próximas no espectro vibracional, separadas pela fração calculada acima. O procedimento prático na prova é: (i) lembrar
; (ii) usar expansão em primeira ordem para diferenças pequenas; (iii) calcular
para cada isótopo e obter
.