3 O cloro possui dois isótopos naturais, \mathrm{Cl}^{35} e \mathrm{Cl}^{37}. Demonstre que o espectro vibracional de HCl deve consistir de dubletos proximamente separados, com uma separação dada por \Delta \nu=7,51 \times 10^{-4} \nu, em que \nu é a frequência do fóton emitido.
Díca: considere-o como um oscilador harmônico, \operatorname{com} \omega=\sqrt{k / \mu}, em que \mu é a massa reduzida (Equação 5.8) e k é, provavelmente, o mesmo para ambos os isótopos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma demonstração numérica:
  • O cloro tem dois isótopos naturais, \mathrm{Cl}^{35} e \mathrm{Cl}^{37}.
  • Modelar a molécula HCl como um oscilador harmônico com
\omega=\sqrt{\dfrac{k}{\mu}},
onde \mu é a massa reduzida e k é constante para ambos os isótopos (o mesmo potencial liga).
  • A tarefa: demonstrar que o espectro vibracional de HCl consiste em dubletos próximos, com separação
\Delta \nu = 7{,}51\times 10^{-4}\,\nu,
onde \nu é a frequência do fóton emitido (ou seja, mostrar que \Delta\nu/\nu=7{,}51\times10^{-4}).

Passo 2

Lembrando o conceito de massa reduzida: para duas massas m_1 (hidrogênio) e m_2 (cloro) a massa reduzida é
\mu=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}.
Explicação didática curta: no movimento vibracional relativo de duas partículas ligadas por uma “mola”, a equação do movimento é equivalente à de uma partícula única com massa \mu sujeita à mesma constante elástica k. Por isso a frequência natural do oscilador depende de \mu.
Para a frequência de fóton associada à vibração usamos \nu=\omega/(2\pi). Como \omega depende de \mu por raiz quadrada, concluímos que a frequência vibracional segue
\nu \propto \mu^{-1/2}.

Passo 3

Comparar as frequências para os dois isótopos. Seja \mu a massa reduzida para H \,^{35}Cl e \mu+\Delta\mu a massa reduzida para H \,^{37}Cl. Chamemos \nu a frequência do isótopo leve (Cl ^{35}). Então a frequência do isótopo pesado é
\nu'=\nu\left(\frac{\mu}{\mu+\Delta\mu}\right)^{1/2} =\nu\left(1+\frac{\Delta\mu}{\mu}\right)^{-1/2}.
Como \Delta\mu/\mu é pequeno, usamos a expansão de binômio em primeira ordem:
(1+\varepsilon)^{-1/2}\approx 1-\frac{1}{2}\varepsilon\quad\text{para }\varepsilon\ll1.
Tomando \varepsilon=\dfrac{\Delta\mu}{\mu} obtemos
\nu'\approx \nu\left(1-\frac{1}{2}\frac{\Delta\mu}{\mu}\right).
A separação absoluta entre as linhas (valor positivo) é
\Delta\nu=|\nu-\nu'|\approx \nu\cdot\frac{1}{2}\frac{\Delta\mu}{\mu}.
Portanto a fração procurada é
\frac{\Delta\nu}{\nu}\approx \frac{1}{2}\frac{\Delta\mu}{\mu}.
Resumo: basta calcular \dfrac{\Delta\mu}{\mu} entre H \,^{35}Cl e H \,^{37}Cl.

Passo 4

Calcular \mu para os dois isotopólogos. Para simplicidade e porque a diferença de massa é pequena, usar massas atômicas aproximadas em unidades atômicas (u): m_{\mathrm{H}}\approx 1\\ \mathrm{u}, m_{\mathrm{Cl}^{35}}\approx 35\\ \mathrm{u}, m_{\mathrm{Cl}^{37}}\approx 37\\ \mathrm{u}. (Essa aproximação é suficientemente precisa para obter o fator numérico pedido.)
Calculemos as massas reduzidas:
\mu_{35}=\frac{1\times 35}{1+35}=\frac{35}{36}=0{,}972222\ldots
\mu_{37}=\frac{1\times 37}{1+37}=\frac{37}{38}=0{,}973684\ldots
Logo
\Delta\mu=\mu_{37}-\mu_{35}=0{,}973684\ldots-0{,}972222\ldots=0{,}001461988\ldots
e a razão relativa (usando \mu_{35} como referência) é
\frac{\Delta\mu}{\mu_{35}}=\frac{0{,}001461988\ldots}{0{,}972222\ldots}=1{,}50397\times10^{-3}.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
\frac{\Delta\nu}{\nu}\approx \frac{1}{2}\cdot 1{,}50397\times10^{-3}=7{,}51985\times10^{-4}.
Arredondando conforme o enunciado, isto dá
\frac{\Delta\nu}{\nu}\approx 7{,}51\times10^{-4},
ou seja
\Delta\nu = 7{,}51\times10^{-4}\,\nu.

Passo 5

Interpretação física e conclusão didática: como os dois isótopos de cloro dão massas reduzidas ligeiramente diferentes, a frequência vibracional muda um pouco entre H \,^{35}Cl e H \,^{37}Cl. Isso produz pares (dubletos) de linhas muito próximas no espectro vibracional, separadas pela fração calculada acima. O procedimento prático na prova é: (i) lembrar \nu\propto\mu^{-1/2}; (ii) usar expansão em primeira ordem para diferenças pequenas; (iii) calcular \mu para cada isótopo e obter \Delta\nu/\nu=(1/2)\Delta\mu/\mu.

Resposta

\Delta \nu = 7{,}51\times 10^{-4}\,\nu

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