Tendo em vista o exercício 1, podemos corrigir o movimento do núcleo no hidrogênio simplesmente substituindo a massa do elétron pela massa reduzida.
Calcule a separação em comprimento de onda entre as linhas vermelhas de Balmer ( n=3 \rightarrow n=2 ) para o hidrogênio e para o deutério.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que já temos:
  • Pede a separação em comprimento de onda entre as linhas vermelhas de Balmer correspondentes à transição n=3\rightarrow n=2 para hidrogênio e para deutério (ou seja, quer a diferença \lambda_{\text{H}}-\lambda_{\text{D}}).
  • Informação-chave: devemos corrigir o movimento do núcleo usando a massa reduzida (ou seja, usar a massa reduzida no lugar da massa do elétron ao calcular a constante de Rydberg efetiva).
  • Não foi pedido usar nenhum valor experimental específico além das constantes fundamentais; vou usar valores usuais de referência (CODATA) para massas e para R_\infty e mostrar os passos para poder replicar na prova.

Passo 2

Conceito da massa reduzida e sua consequência prática (aula curta e direta).
  • Quando o elétron e o núcleo interagem, ambos se movem em torno do centro de massa. A solução efetiva do problema de Coulomb fica idêntica à do elétron se usarmos a massa reduzida \mu no lugar da massa do elétron:
\mu=\frac{m_e M}{m_e+M},
onde m_e é a massa do elétron e M é a massa do núcleo (para hidrogênio M=m_p, para deutério M=m_d).
  • A constante de Rydberg infinita (núcleo de massa infinita) é \;R_\infty\;. Para núcleo com massa finita a constante de Rydberg efetiva é
R = R_\infty \frac{\mu}{m_e}.
Explicando o que isto significa: se \mu<m_e, então R<R_\infty e as linhas saem deslocadas (mudança pequena, porque m_e\ll M). Isso é exatamente a correção isotópica que queremos.

Passo 3

Fórmula da posição das linhas de Balmer e manipulação algébrica útil.
  • Para uma transição n_i\to n_f vale
\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right).
  • No caso n_i=3,\,n_f=2:
\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=R\cdot\frac{5}{36},
portanto
\lambda=\frac{36}{5R}.
  • Substituindo R=R_\infty\,\dfrac{\mu}{m_e} e lembrando a expressão de \mu obtemos uma forma prática:
\lambda=\frac{36}{5R_\infty}\left(1+\frac{m_e}{M}\right).
Para simplificar: defino
\lambda_\infty\equiv\frac{36}{5R_\infty}
(é o comprimento de onda da transição para massa infinita do núcleo). Assim
\lambda(M)=\lambda_\infty\!\left(1+\frac{m_e}{M}\right).
Logo a diferença entre hidrogênio e deutério é
\Delta\lambda\equiv\lambda_{\text{H}}-\lambda_{\text{D}} =\lambda_\infty\,m_e\!\left(\frac{1}{m_p}-\frac{1}{m_d}\right).
Essa forma é prática porque mostra claramente que a diferença é pequena (proporcional a m_e/M^2 efetivamente) e que só depende de \lambda_\infty e das massas.

Passo 4

Valores das constantes que vou usar (peguei estes valores de referência CODATA; na prova use os valores que o professor indicar se houver tabelas):
\begin{aligned} R_\infty&=1{,}0973731568508\times10^{7}\\ \text{m}^{-1},\\[4pt] m_e&=9{,}1093837015\times10^{-31}\\ \text{kg},\\[4pt] m_p&=1{,}67262192369\times10^{-27}\\ \text{kg}\\ (\text{massa do próton}),\\[4pt] m_d&=3{,}3435837724\times10^{-27}\\ \text{kg}\\ (\text{massa do deutério}). \end{aligned}óé]

Passo 5

Calcular \lambda_\infty (comprimento de onda para núcleo de massa infinita).
\lambda_\infty=\frac{36}{5R_\infty}=\frac{7{,}2}{R_\infty}.
Substituindo R_\infty:
\lambda_\infty=\frac{7{,}2}{1{,}0973731568508\times10^{7}}\\ \text{m} \approx 6{,}561682987\times10^{-7}\\ \text{m} =656{,}1682987\\ \text{nm}.

Passo 6

Calcular m_e/m_p e m_e/m_d (ângulos numéricos intermediários).
\frac{m_e}{m_p}\approx\frac{9{,}1093837015\times10^{-31}}{1{,}67262192369\times10^{-27}} \approx 5{,}446170213\times10^{-4},
\frac{m_e}{m_d}\approx\frac{9{,}1093837015\times10^{-31}}{3{,}3435837724\times10^{-27}} \approx 2{,}724270\times10^{-4}.

Passo 7

Agora as duas linhas (usar \lambda(M)=\lambda_\infty(1+m_e/M)):
\lambda_{\text{H}}=\lambda_\infty\!\left(1+\frac{m_e}{m_p}\right) \approx 656{,}1682987\\ \text{nm}\times\bigl(1+5{,}446170213\times10^{-4}\bigr) \approx 656{,}52573\\ \text{nm},
\lambda_{\text{D}}=\lambda_\infty\!\left(1+\frac{m_e}{m_d}\right) \approx 656{,}1682987\\ \text{nm}\times\bigl(1+2{,}724270\times10^{-4}\bigr) \approx 656{,}34708\\ \text{nm}.
Agora a separação:
\Delta\lambda=\lambda_{\text{H}}-\lambda_{\text{D}}\approx 656{,}52573-656{,}34708 \approx 0{,}17865\\ \text{nm}.
Convém também dar em outras unidades comuns:
\Delta\lambda\approx 0{,}17865\\ \text{nm}=1{,}7865\\ \text{\AA}=1{,}7865\times10^{-10}\\ \text{m}.

Passo 8

Interpretação rápida e dica de prova (coloquial e motivadora):
  • A diferença vem só da pequena diferença nas massas do núcleo: como o deutério é aproximadamente duas vezes mais massivo que o próton, a correção de massa reduzida é cerca de metade, e por isso a linha do deutério fica levemente para o azul em relação à do hidrogênio (linha deuterio tem menor \lambda).
  • Para a prova: memorize o procedimento (usar \mu para ajustar R, escrever \lambda=\lambda_\infty(1+m_e/M) para transições fixas) — isso reduz muito os cálculos.

Resposta

\lambda_{\text{H}}\approx 656{,}5257\\ \text{nm}
\lambda_{\text{D}}\approx 656{,}3471\\ \text{nm}
\Delta\lambda=\lambda_{\text{H}}-\lambda_{\text{D}}\approx 0{,}1787\\ \text{nm}=1{,}787\\ \text{\AA}=1{,}787\times10^{-10}\\ \text{m}

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