Tendo em vista o exercício 1, podemos corrigir o movimento do núcleo no hidrogênio simplesmente substituindo a massa do elétron pela massa reduzida.
Calcule a separação em comprimento de onda entre as linhas vermelhas de Balmer (
) para o hidrogênio e para o deutério.
Calcule a separação em comprimento de onda entre as linhas vermelhas de Balmer (
Passo 1
O que o enunciado pede e o que já temos:
- Pede a separação em comprimento de onda entre as linhas vermelhas de Balmer correspondentes à transição
para hidrogênio e para deutério (ou seja, quer a diferença ). - Informação-chave: devemos corrigir o movimento do núcleo usando a massa reduzida (ou seja, usar a massa reduzida no lugar da massa do elétron ao calcular a constante de Rydberg efetiva).
- Não foi pedido usar nenhum valor experimental específico além das constantes fundamentais; vou usar valores usuais de referência (CODATA) para massas e para
e mostrar os passos para poder replicar na prova.
Passo 2
Conceito da massa reduzida e sua consequência prática (aula curta e direta).
- Quando o elétron e o núcleo interagem, ambos se movem em torno do centro de massa. A solução efetiva do problema de Coulomb fica idêntica à do elétron se usarmos a massa reduzida
no lugar da massa do elétron:
onde
é a massa do elétron e
é a massa do núcleo (para hidrogênio
, para deutério
).
- A constante de Rydberg infinita (núcleo de massa infinita) é
. Para núcleo com massa finita a constante de Rydberg efetiva é
Explicando o que isto significa: se
, então
e as linhas saem deslocadas (mudança pequena, porque
). Isso é exatamente a correção isotópica que queremos.
Passo 3
Fórmula da posição das linhas de Balmer e manipulação algébrica útil.
- Para uma transição
vale
- No caso
:
portanto
- Substituindo
e lembrando a expressão de obtemos uma forma prática:
Para simplificar: defino
(é o comprimento de onda da transição para massa infinita do núcleo). Assim
Logo a diferença entre hidrogênio e deutério é
Essa forma é prática porque mostra claramente que a diferença é pequena (proporcional a
efetivamente) e que só depende de
e das massas.
Passo 4
Valores das constantes que vou usar (peguei estes valores de referência CODATA; na prova use os valores que o professor indicar se houver tabelas):
Passo 5
Calcular
(comprimento de onda para núcleo de massa infinita).
Substituindo
:
Passo 6
Calcular
e
(ângulos numéricos intermediários).
Passo 7
Agora as duas linhas (usar
):
Agora a separação:
Convém também dar em outras unidades comuns:
Passo 8
Interpretação rápida e dica de prova (coloquial e motivadora):
- A diferença vem só da pequena diferença nas massas do núcleo: como o deutério é aproximadamente duas vezes mais massivo que o próton, a correção de massa reduzida é cerca de metade, e por isso a linha do deutério fica levemente para o azul em relação à do hidrogênio (linha deuterio tem menor
). - Para a prova: memorize o procedimento (usar
para ajustar , escrever para transições fixas) — isso reduz muito os cálculos.