Quando \psi(x) é uma função de onda normalizada, qual é o significado da área entre a curva de |\psi(x)|^{2} e o eixo x, entre x_{1} e x_{2} ? E da área entre esta mesma curva quando incluímos todos os valores de x ? Explique.

Passo 1

O enunciado nos coloca no contexto da mecânica quântica, onde temos uma função de onda normalizada \psi(x). A questão pede que a gente explique o que significa a área sob a curva de \lvert \psi(x)\rvert^2 entre dois pontos x_1 e x_2, e depois o que significa essa área quando a consideramos ao longo de todo o eixo x. Para isso vamos usar a interpretação estatística da função de onda.

Passo 2

Na interpretação de Born, o módulo ao quadrado da função de onda, \lvert \psi(x)\rvert^2, é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula na posição x. Isso significa que, para qualquer intervalo [a,b], a probabilidade de o sistema estar nessa região é dada por
P(a\le x\le b)=\int_{a}^{b}\lvert \psi(x)\rvert^2\,dx.

Passo 3

Aplicando esse conceito ao intervalo [x_1,x_2], a área entre a curva de \lvert \psi(x)\rvert^2 e o eixo x de x_1 até x_2 é precisamente
\int_{x_1}^{x_2}\lvert \psi(x)\rvert^2\,dx,
que corresponde à probabilidade de encontrar a partícula entre x_1 e x_2.

Passo 4

Como a função de onda está normalizada, a probabilidade de achar a partícula em algum ponto do eixo real deve ser igual a 1. Logo, a área total sob a curva de \lvert \psi(x)\rvert^2 para x variando de -\infty a +\infty satisfaz
\int_{-\infty}^{\infty}\lvert \psi(x)\rvert^2\,dx = 1.

Resposta

A área entre a curva de \lvert \psi(x)\rvert^2 e o eixo x de x_1 até x_2 é a probabilidade de encontrar a partícula nesse intervalo, dada por
P(x_1\le x\le x_2)=\int_{x_1}^{x_2}\lvert \psi(x)\rvert^2\,dx.
A área quando incluímos todos os valores de x (isto é, de -\infty a +\infty) vale 1, o que reflete o fato de que temos certeza de encontrar a partícula em algum lugar do espaço:
\int_{-\infty}^{\infty}\lvert \psi(x)\rvert^2\,dx = 1.

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