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(1.0 pt)
Análise de Posição
a) Por que a análise de posição é essencial no estudo de mecanismos?
b) Explique o método de vetores complexos na determinação da posição de um mecanismo.

Passo 1

O enunciado trata da análise de posição em mecanismos e pergunta:
a) Por que essa análise é essencial?
b) Como funciona o método de vetores complexos para determinar a posição de um mecanismo?
O conteúdo envolve noções de cinemática geométrica de mecanismos planos, especialmente equações de malha e representação vetorial no plano complexo.

Passo 2

Para responder por que a análise de posição é essencial, devemos entender que toda análise cinemática (velocidades, acelerações) depende primeiro de sabermos onde cada elemento do mecanismo está localizado e orientado. Em outras palavras:
  1. Sem a posição geométrica dos elos não temos como calcular distâncias, direções ou ângulos entre pontos-chave do mecanismo.
  2. O estudo de deslocamentos garante que o mecanismo alcance as configurações desejadas (evita interpenetrações, verifica o alcance do curso, define pontos mortais, etc.).
  3. É a base para projetar e dimensionar elos, garantir trajetória correta e depois prosseguir para as análises de velocidade e aceleração.

Passo 3

O método de vetores complexos explora a representação de cada elo por um número complexo z no plano, cujas componentes real e imaginária correspondem às projeções cartesiana x e y. Os passos básicos são:
  1. Para cada elo k, atribuímos
z_k = L_k\,e^{i\theta_k},
onde L_k é o comprimento do elo e \theta_k seu ângulo de orientação medido a partir do eixo x.
2) Em cada laço fechado do mecanismo, impomos a equação de malha de soma vetorial nula:
\sum_{k\in\text{laço}} z_k = 0.ç
  1. Ao expandir em função de seno e cosseno, obtemos duas equações reais por laço:
\sum L_k\cos(\theta_k)=0, \quad \sum L_k\sin(\theta_k)=0.
  1. Essas equações não-lineares permitem resolver as incógnitas \theta_k (ângulos de posição) conhecendo-se alguns L_k e ângulos de referência. Em mecanismos de quatro barras, por exemplo, basta um laço com duas equações para determinar o ângulo de saída em função do ângulo de entrada.
  2. Se necessário, utiliza-se método numérico (Newton–Raphson) para equações não-lineares.

Resposta

a) A análise de posição é essencial porque estabelece a geometria instantânea de todos os elos, permitindo verificar ângulos, deslocamentos e a viabilidade do movimento antes de passar para velocidades e acelerações.
b) No método de vetores complexos cada elo é representado por
z_k = L_k\,e^{i\theta_k}
no plano complexo, e em cada malha do mecanismo se aplica
\sum_k z_k = 0.
Separando em partes real e imaginária obtêm-se as equações
\sum_k L_k\cos(\theta_k)=0, \quad \sum_k L_k\sin(\theta_k)=0,
que são resolvidas para encontrar os ângulos de posição \theta_k.

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