Análise de Velocidade

a) Como se determina a velocidade dos elementos de um mecanismo utilizando métodos gráficos e analíticos?
b) Explique o método do centro instantâneo de rotação na análise de velocidade de um mecanismo planar.

Passo 1

O enunciado pede (a) descrever como se determina a velocidade dos elos de um mecanismo planar por métodos gráficos e analíticos e (b) explicar o método do centro instantâneo de rotação. O conteúdo envolve cinemática de mecanismos, polígono de velocidades, equações de malha vetoriais e teoria dos centros instantâneos.

Passo 2

Método gráfico de determinação de velocidades
  1. Para cada elo, escolhe-se um ponto característico (normalmente as juntas) e representa-se sobre o desenho do mecanismo sua posição real.
  2. Traça-se, em escala, um polígono de velocidades: cada lado do polígono corresponde à velocidade de um elo, orientado perpendicularmente à linha que une os pontos dos elos adjacentes (pois \vec v = \vec\omega\times\vec r).
  3. A velocidade angular conhecida de um elo fixo serve de referência para determinar, no polígono, a escala (por exemplo, se \omega_2 é conhecido, \|\vec v_{B,2}\| = \omega_2\cdot r_{2}).
  4. Fechando o polígono, obtêm-se graficamente todas as velocidades lineares dos elos e, dividindo-as pelos respectivos raios, calculam-se as velocidades angulares \omega_i.

Passo 3

Método analítico de determinação de velocidades
  1. Escreve-se a equação vetorial de fechamento de malha para um laço qualquer, por exemplo
\vec r_1 + \vec r_2 - \vec r_3 - \vec r_4 = \vec 0.
  1. Diferencia-se em relação ao tempo, lembrando que \dot{\vec r}_i = \vec v_i e \vec v_i = \omega_i\,\hat k\times\vec r_i. Assim obtém-se
\vec v_1 + \vec v_2 - \vec v_3 - \vec v_4 = \vec 0.
  1. Projetam-se essas equações nas direções x e y, gerando um sistema linear nas incógnitas \omega_i.
  2. Resolve-se esse sistema numérico (por substituição, Gauss etc.) para encontrar as \omega_i e, daí, todas as \vec v_i.

Passo 4

Método do centro instantâneo de rotação (CIR)
  1. Em um mecanismo planar, em cada configuração existe um ponto, o centro instantâneo, que tem velocidade nula relativa ao quadro fixo.
  2. Para dois elos i e j, o CIR pertence à linha que liga suas juntas comuns. Pela Regra de Aronhold–Kennedy, existe um CIR para cada par de elos de um triângulo de elos.
  3. Localiza-se graficamente os CIRs principais unindo as linhas de ação das velocidades relativas conhecidas.
  4. Depois de achar o CIR de cada elo, a velocidade de qualquer outro ponto desse elo é
v = \omega\cdot R,
onde R é a distância do CIR ao ponto considerado e \omega é a velocidade angular do elo.

Resposta

a) Pelo método gráfico, constroem-se polígonos de velocidades em escala e, a partir da velocidade angular conhecida, fecha-se o polígono para obter as demais velocidades lineares e angulares. Pelo método analítico, escreve-se a equação vetorial de fechamento de malha, diferencia-se no tempo, projeta-se em x e y e resolve-se o sistema para as velocidades angulares e lineares.
b) O método do centro instantâneo de rotação localiza, em cada configuração, o ponto onde a velocidade é zero usando a Regra de Aronhold–Kennedy. Com o CIR determinado, todas as velocidades dos pontos de um elo são calculadas por v=\omega\,R, sendo R a distância ao CIR.

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