(2 pt) Determine todas as derivadas da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar todas as derivadas da função $ g(x) = 6x^{3} + 5x^{2} - 2 $. Isso significa que vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação para polinômios. Vamo entender como aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra do Poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $. Isso vale pra cada termo com x na função.
Passo 3
Aplicando a regra no primeiro termo da função, $ 6x^{3} $:
- A derivada de $ x^{3} $ é $ 3x^{2} $.
- Multiplicando pelo coeficiente 6, fica $ 6 \cdot 3x^{2} = 18x^{2} $.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo, $ 5x^{2} $:
- A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $.
- Multiplicando pelo coeficiente 5, fica $ 5 \cdot 2x = 10x $.
Passo 5
O último termo da função é uma constante,
. A derivada de qualquer constante é zero, então não precisamos nos preocupar com ele.
Passo 6
Juntando tudo, somamos as derivadas dos termos:
Resposta
A derivada da função $ g(x) = 6x^{3} + 5x^{2} - 2 $ é: