Calcule a derivada das seguintes funções:
(1 pt) h(x)=sin (x)4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função $ h(x) = \frac{\sin(x)}{4x^2} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde usamos regras de derivação para encontrar a taxa de variação de uma função. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e saber como derivar funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que a regra do quociente vai nos ajudar. A regra do quociente é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, ou seja, $ h(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $. No nosso caso, $ u(x) = \sin(x) $ e $ v(x) = 4x^2 $.

Passo 3

Agora, precisamos derivar essas duas funções separadamente:
  • A derivada de $ u(x) = \sin(x) $ é $ u’(x) = \cos(x) $. Isso porque a derivada do seno é o cosseno.
  • A derivada de $ v(x) = 4x^2 $ é $ v’(x) = 8x $. A gente usa a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $.

Passo 4

Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, aplicamos a regra do quociente:
u(x)
Substituindo os valores:
v(x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
h'(x) = 4x^2 cos(x) - 8x sin(x)16x^4
Podemos fatorar o numerador:
h'(x) = 4x (x cos(x) - 2 sin(x))16x^4
Simplificando os termos:
h'(x) = x cos(x) - 2 sin(x)4x^3

Resposta

A derivada da função é:
h'(x) = x cos(x) - 2 sin(x)4x^3

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