Calcule a derivada das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função $ h(x) = \frac{\sin(x)}{4x^2} $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde usamos regras de derivação para encontrar a taxa de variação de uma função. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e saber como derivar funções trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que a regra do quociente vai nos ajudar. A regra do quociente é usada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções, ou seja, $ h(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $. No nosso caso, $ u(x) = \sin(x) $ e $ v(x) = 4x^2 $.
Passo 3
Agora, precisamos derivar essas duas funções separadamente:
- A derivada de $ u(x) = \sin(x) $ é $ u’(x) = \cos(x) $. Isso porque a derivada do seno é o cosseno.
- A derivada de $ v(x) = 4x^2 $ é $ v’(x) = 8x $. A gente usa a regra do poder, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $.
Passo 4
Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ em mãos, aplicamos a regra do quociente:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar o numerador:
Simplificando os termos:
Resposta
A derivada da função é: