Encontre a série de Maclaurin de
e o raio de convergência assosciado a ela.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a gente precisa: encontrar a série de Maclaurin de
e o raio de convergência dessa série. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor (no caso em torno de
, chamada de Maclaurin) e vamos usar uma identidade trigonométrica pra facilitar.
Passo 2
Uma dica esperta é usar a identidade\n
Assim a gente troca o problema de
por uma combinação de
, cuja série a gente já conhece.
Passo 3
A série de Maclaurin de
é\n
Isso vale pra qualquer
.
Passo 4
Agora, basta substituir
nessa expansão. Então:\n
Passo 5
Voltando à identidade, temos\n
e substituindo a série de
:\n
Como o termo
da soma é 1, o
zera o termo constante, e sobra só de
em diante.
Passo 6
Reorganizando a soma para começar em
e factorando as potências de 2, chegamos à forma geral:
Se quiser os primeiros termos, fica:
Passo 7
O raio de convergência dessa série é o mesmo da série de
, que é infinito. Isso porque séries de potências de funções trigonométricas clássicas convergem para todo
.
Resposta
A série de Maclaurin de
é
e o raio de convergência é