Encontre a série de Maclaurin de f(x) e o raio de convergência assosciado a ela.
sen^2 x

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a gente precisa: encontrar a série de Maclaurin de sin^2 x e o raio de convergência dessa série. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor (no caso em torno de 0, chamada de Maclaurin) e vamos usar uma identidade trigonométrica pra facilitar.

Passo 2

Uma dica esperta é usar a identidade\n sin^2 x = 1 - cos(2x)2
Assim a gente troca o problema de sin^2 x por uma combinação de cos(2x), cuja série a gente já conhece.

Passo 3

A série de Maclaurin de cos t é\n cos t = sumn=0^infty (-1)^n t^2n(2n)!
Isso vale pra qualquer t.

Passo 4

Agora, basta substituir t = 2x nessa expansão. Então:\n cos(2x) = sumn=0^infty (-1)^n (2x)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n 2^2n x^2n(2n)!

Passo 5

Voltando à identidade, temos\n sin^2 x = 12 - 12cos(2x)
e substituindo a série de cos(2x):\n sin^2 x = 12 - 12 sumn=0^infty (-1)^n 2^2n x^2n(2n)!
Como o termo n=0 da soma é 1, o tfrac12 - tfrac12cdot1 zera o termo constante, e sobra só de n=1 em diante.

Passo 6

Reorganizando a soma para começar em n=1 e factorando as potências de 2, chegamos à forma geral:
sin^2 x = sumn=1^infty (-1)^n-1 2^2n-1(2n)!,x^2n
Se quiser os primeiros termos, fica:
sin^2 x = x^2 - x^43 + 2x^645 - cdots

Passo 7

O raio de convergência dessa série é o mesmo da série de cos(2x), que é infinito. Isso porque séries de potências de funções trigonométricas clássicas convergem para todo x.

Resposta

A série de Maclaurin de sin^2 x é
sin^2 x = sumn=1^infty (-1)^n-1 2^2n-1(2n)!,x^2n
e o raio de convergência é R = infty.

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