(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge com as devidas justificativas. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)):
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para decidir se ela converge ou diverge (e, se convergisse, calcular a soma). Vou listar a informação relevante fornecida:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o limite do termo geral quando
. Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Calculo o limite dividindo numerador e denominador por
:
Portanto o termo geral tende a
quando
.
Passo 3
Ensinando o teste que usamos: o Teste do Termo Geral (ou Teste da Divergência) diz o seguinte:
- Se
, então a série diverge.
Isto é uma condição necessária para convergência: para uma série poder convergir, seus termos precisam tender a zero; se não tendem a zero, a soma não pode “estabilizar”.
Passo 4
Aplicando o teste ao nosso caso: encontramos
. Logo, pela regra do Passo 3, a série diverge. Intuitivamente: os termos da soma não vão ficando pequenos — eles se aproximam de
— então, somando muitos termos, a soma cresce sem limite.
Passo 5
Para deixar a conclusão ainda mais robusta, apresento um argumento de comparação simples. Como
, existe
tal que, para todo
,
Então a parte tail da série satisfaz
e a soma à direita é uma soma de constantes positivas que diverge (pois é equivalente a somar
infinitas vezes). Portanto a série original diverge para
.
Resposta
A série diverge.