(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge com as devidas justificativas. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)):
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5 n}{9 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5n}{9n+1},
e pede para decidir se ela converge ou diverge (e, se convergisse, calcular a soma). Vou listar a informação relevante fornecida:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{5n}{9n+1}.
  • A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge ou diverge?

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o limite do termo geral quando n\to\infty. Se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Calculo o limite dividindo numerador e denominador por n:
\lim_{n\to\infty} \frac{5n}{9n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{5}{9+\tfrac{1}{n}} = \frac{5}{9}.
Portanto o termo geral tende a \displaystyle \frac{5}{9} quando n\to\infty.

Passo 3

Ensinando o teste que usamos: o Teste do Termo Geral (ou Teste da Divergência) diz o seguinte:
  • Se \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, então a série \sum a_n diverge.
    Isto é uma condição necessária para convergência: para uma série poder convergir, seus termos precisam tender a zero; se não tendem a zero, a soma não pode “estabilizar”.

Passo 4

Aplicando o teste ao nosso caso: encontramos \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{5}{9}\neq 0. Logo, pela regra do Passo 3, a série diverge. Intuitivamente: os termos da soma não vão ficando pequenos — eles se aproximam de 5/9 — então, somando muitos termos, a soma cresce sem limite.

Passo 5

Para deixar a conclusão ainda mais robusta, apresento um argumento de comparação simples. Como \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{5}{9}, existe N tal que, para todo n\ge N,
a_n>\frac{5}{9}-\frac{5}{18}=\frac{5}{18}.
Então a parte tail da série satisfaz
\sum_{n=N}^{\infty} a_n \ge \sum_{n=N}^{\infty} \frac{5}{18},
e a soma à direita é uma soma de constantes positivas que diverge (pois é equivalente a somar \tfrac{5}{18} infinitas vezes). Portanto a série original diverge para +\infty.

Resposta

A série diverge.

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