(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge com as devidas justificativas. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)):
\sum_{n=1}^{\infty} 10\left(\frac{1}{4}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} 10\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral é 10\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots.
  • É preciso verificar convergência e, se convergir, obter a soma.

Passo 2

Identificar o tipo de série e a ferramenta que usamos: a série é uma série geométrica (uma série cujos termos formam uma progressão geométrica). Vamos revisar a fórmula e o critério de convergência para séries geométricas de forma didática.
Definição e fórmula (passo a passo):
  • Considere a série geométrica com razão r: \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}.
  • A soma parcial até N é
S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
Para obter uma fórmula fechada, multiplica-se por r e subtrai:
rS_N = r + r^{2} + \cdots + r^{N+1}.
Subtraindo as duas expressões:
S_N - rS_N = 1 - r^{N+1}.
Fatorando S_N(1-r)=1-r^{N+1}, obtemos
S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r},\qquad r\neq 1.
  • Para a soma começando em n=1 temos
\sum_{n=1}^{N} r^{n} = S_N - 1 = \frac{1-r^{N+1}}{1-r}-1 = \frac{r - r^{N+1}}{1-r}.
  • Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, e por isso a série infinita converge para
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, então r^{N} não tende a zero e a série diverge.
Esses resultados são a base para resolver nosso problema.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
  • Podemos escrever a série como
\sum_{n=1}^{\infty} 10\left(\frac{1}{4}\right)^{n} = 10\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}.
  • Aqui a razão geométrica é r=\dfrac{1}{4}. Verificamos |r|=\dfrac{1}{4}<1, portanto a série geométrica converge.
  • Usando a fórmula da soma para \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} com r=\dfrac{1}{4}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}.
Multiplicando por 10,
\sum_{n=1}^{\infty} 10\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=10\cdot\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}.

Passo 4

Fazer a simplificação aritmética final (passo a passo):
1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}, \qquad \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3},
então
10\cdot\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=10\cdot\frac{1}{3}.

Passo 5

Interpretação curta e moral: a série é um caso típico de série geométrica com razão r=\dfrac{1}{4} (menor que 1 em módulo), por isso converge; a soma foi obtida aplicando a fórmula padrão e simplificando cuidadosamente as frações. Força aí — séries geométricas aparecem sempre em provas e, assim que reconheceres ar^{n} ou ar^{n-1}, já sabes o caminho.

Resposta

Converge; soma = \dfrac{10}{3}

Exercícios relacionados