(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge com as devidas justificativas. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)):
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular sua soma. A série dada é
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral é
para . - É preciso verificar convergência e, se convergir, obter a soma.
Passo 2
Identificar o tipo de série e a ferramenta que usamos: a série é uma série geométrica (uma série cujos termos formam uma progressão geométrica). Vamos revisar a fórmula e o critério de convergência para séries geométricas de forma didática.
Definição e fórmula (passo a passo):
- Considere a série geométrica com razão
: . - A soma parcial até
é
Para obter uma fórmula fechada, multiplica-se por
e subtrai:
Subtraindo as duas expressões:
Fatorando
, obtemos
- Para a soma começando em
temos
- Se
, então quando , e por isso a série infinita converge para
- Se
, então não tende a zero e a série diverge.
Esses resultados são a base para resolver nosso problema.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
- Podemos escrever a série como
- Aqui a razão geométrica é
. Verificamos , portanto a série geométrica converge. - Usando a fórmula da soma para
com , obtemos
Multiplicando por
,
Passo 4
Fazer a simplificação aritmética final (passo a passo):
então
Passo 5
Interpretação curta e moral: a série é um caso típico de série geométrica com razão
(menor que
em módulo), por isso converge; a soma foi obtida aplicando a fórmula padrão e simplificando cuidadosamente as frações. Força aí — séries geométricas aparecem sempre em provas e, assim que reconheceres
ou
, já sabes o caminho.
Resposta
Converge; soma =