(2,0 pt) Explique o efeito Compton e a relação do fóton incidente com o de recuo, característico do efeito.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Explicar o efeito Compton (o que é, como é observado).
- Explicar a relação matemática entre o fóton incidente e o fóton de recuo (ou espalhado) característica desse efeito.
Não há dados numéricos no enunciado; precisamos descrever o fenômeno qualitativa e matematicamente, dando a fórmula que liga o comprimento de onda do fóton antes e depois da colisão e interpretando o resultado.
Passo 2
Descrição experimental e conceito físico (o que se observa).
- Um feixe de raios X (ou raios γ) incide sobre elétrons praticamente livres em um alvo. Observa-se que a radiação espalhada tem comprimento de onda maior (energia menor) do que a radiação incidente, e que esse aumento do comprimento de onda depende do ângulo de espalhamento.
- Esse efeito mostrou que a luz comporta-se como partículas (fótons) com energia e momento bem definidos; a explicação correta só aparece aplicando conservação de energia e de momento com fótons e elétrons tratáveis relativisticamente.
Passo 3
Definições das quantidades que vamos usar (explicar cada símbolo).
- Comprimento de onda do fóton incidente:
. - Comprimento de onda do fóton espalhado (de recuo):
. - Energia do fóton incidente:
. Relação com comprimento de onda: , onde é a constante de Planck e a velocidade da luz. - Energia do fóton espalhado:
. - Massa de repouso do elétron:
. Energia de repouso: . - Ângulo de espalhamento do fóton (medido em relação à direção incidente):
. - Momento do fóton (módulo):
; do fóton espalhado .
Explicação curta: o fóton transfere parte de sua energia e momento ao elétron, o qual passa a ter momento e energia cinética; aplicamos conservação de energia e de momento para relacionar
e
.
Passo 4
Equações de conservação (escrever e explicar).
- Conservação de energia:
onde
é a energia total do elétron depois da colisão (energia total relativística).
- Conservação de momento vetorial (escrevendo componentes num referencial em que o fóton incidente vai ao longo do eixo
):
ou em componentes,
onde
é o momento do elétron após a colisão.
Comentário didático: em vez de trabalhar explicitamente com
até o fim, é prático calcular
a partir da diferença vetorial entre
e
.
Passo 5
Calcular o quadrado do momento do elétron usando a diferença vetorial.
- Magnitudes:
Substituindo
e
,
Explicação: esse é apenas o teorema de Pitágoras generalizado (lei dos cossenos) aplicado ao triângulo dos vetores momento.
Passo 6
Relacionar energia do elétron com seu momento (energia relativística) e eliminar
.
- Energia total do elétron:
. - Use conservação de energia para escrever
. - Agora elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
- Substituir
pela expressão do Passo 5:
Passo 7
Fazer as manipulações algébricas que levam à fórmula de Compton (detalhar cada cancelamento).
- Expandindo o lado esquerdo:
igual ao lado direito
- Cancelam-se
, e em ambos os lados. Ficamos com
- Dividindo por
e rearranjando:
Comentário: esta é uma relação que envolve só energias e o ângulo
.
Passo 8
Passar da fórmula em energias para a fórmula em comprimentos de onda (a relação característica).
- Substituir
e na igualdade do Passo 7:
- Simplificar (cortar fatores comuns) e manipular para isolar
; após cancelamentos obtém-se a forma clássica:
- Definindo a quantidade
(comprimento de onda de Compton do elétron), a fórmula fica ainda mais clara:
Explicação das variáveis nesta fórmula:
é o comprimento de onda do fóton incidente,
o do fóton espalhado,
o ângulo entre a direção incidente e a espalhada;
é constante: para o elétron
.
Passo 9
Interpretação física e consequências (como usar a fórmula na prova).
- Significado imediato: o fóton espalhado tem sempre comprimento de onda maior ou igual ao do incidente (
), pois . Ou seja, o fóton perde energia para o elétron. - Dependência angular: para
(espalhamento para frente) tem (nenhuma troca de energia); para (retroespalhamento, volta), o aumento é máximo: . - Relação em energias útil em problemas: a partir de
e resulta também
- Limites clássicos: se a energia do fóton é muito menor que
(raios X/visível muito longos comparados a ), o deslocamento é pequeno e a interação pode ser aproximada pelo espalhamento Thomson clássico; o efeito Compton é especialmente notável para fótons de alta energia (raios X, γ). - Importância histórica e conceitual: o efeito forneceu evidência direta da quantização da luz (fótons com momento e energia) e ajudou a consolidar a natureza corpuscular da radiação eletromagnética.
Passo 10
Exemplo numérico rápido (aplicação concreta para fixar a ideia).
- Deslocamento máximo (retroespalhamento
):
- Interpretação: essa mudança é pequena em termos absolutos, por isso o efeito foi observado com raios X e raios γ, não com luz visível (onde a mudança é desprezível).
Resposta
O fóton espalhado tem comprimento de onda maior (energia menor) que o incidente; a diferença depende do ângulo de espalhamento