(2,0 pt) Explique o efeito Compton e a relação do fóton incidente com o de recuo, característico do efeito.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Explicar o efeito Compton (o que é, como é observado).
  • Explicar a relação matemática entre o fóton incidente e o fóton de recuo (ou espalhado) característica desse efeito.
Não há dados numéricos no enunciado; precisamos descrever o fenômeno qualitativa e matematicamente, dando a fórmula que liga o comprimento de onda do fóton antes e depois da colisão e interpretando o resultado.

Passo 2

Descrição experimental e conceito físico (o que se observa).
  • Um feixe de raios X (ou raios γ) incide sobre elétrons praticamente livres em um alvo. Observa-se que a radiação espalhada tem comprimento de onda maior (energia menor) do que a radiação incidente, e que esse aumento do comprimento de onda depende do ângulo de espalhamento.
  • Esse efeito mostrou que a luz comporta-se como partículas (fótons) com energia e momento bem definidos; a explicação correta só aparece aplicando conservação de energia e de momento com fótons e elétrons tratáveis relativisticamente.

Passo 3

Definições das quantidades que vamos usar (explicar cada símbolo).
  • Comprimento de onda do fóton incidente: \lambda.
  • Comprimento de onda do fóton espalhado (de recuo): \lambda'.
  • Energia do fóton incidente: E. Relação com comprimento de onda: E=\dfrac{hc}{\lambda}, onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz.
  • Energia do fóton espalhado: E'=\dfrac{hc}{\lambda'}.
  • Massa de repouso do elétron: m_e. Energia de repouso: m_e c^2.
  • Ângulo de espalhamento do fóton (medido em relação à direção incidente): \theta.
  • Momento do fóton (módulo): p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h}{\lambda}; do fóton espalhado p'=\dfrac{E'}{c}=\dfrac{h}{\lambda'}.
Explicação curta: o fóton transfere parte de sua energia e momento ao elétron, o qual passa a ter momento e energia cinética; aplicamos conservação de energia e de momento para relacionar \lambda e \lambda'.

Passo 4

Equações de conservação (escrever e explicar).
  • Conservação de energia:
E + m_e c^2 = E' + E_e,
onde E_e é a energia total do elétron depois da colisão (energia total relativística).
  • Conservação de momento vetorial (escrevendo componentes num referencial em que o fóton incidente vai ao longo do eixo x):
\vec p = \vec p\,' + \vec p_e,
ou em componentes,
\frac{E}{c} = \frac{E'}{c}\cos\theta + p_{e,x}, \qquad 0 = \frac{E'}{c}\sin\theta + p_{e,y},
onde \vec p_e é o momento do elétron após a colisão.
Comentário didático: em vez de trabalhar explicitamente com p_{e,x},p_{e,y} até o fim, é prático calcular p_e^2 a partir da diferença vetorial entre \vec p e \vec p\,'.

Passo 5

Calcular o quadrado do momento do elétron usando a diferença vetorial.
  • Magnitudes:
p_e^2 = p^2 + p'^2 - 2pp'\cos\theta.
Substituindo p=E/c e p'=E'/c,
(p_e c)^2 = E^2 + E'^2 - 2EE'\cos\theta.
Explicação: esse é apenas o teorema de Pitágoras generalizado (lei dos cossenos) aplicado ao triângulo dos vetores momento.

Passo 6

Relacionar energia do elétron com seu momento (energia relativística) e eliminar p_e.
  • Energia total do elétron: E_e = \sqrt{(p_e c)^2 + (m_e c^2)^2}.
  • Use conservação de energia para escrever E_e = E + m_e c^2 - E'.
  • Agora elevamos ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
(E + m_e c^2 - E')^2 = (p_e c)^2 + (m_e c^2)^2.
  • Substituir (p_e c)^2 pela expressão do Passo 5:
(E + m_e c^2 - E')^2 = E^2 + E'^2 - 2EE'\cos\theta + (m_e c^2)^2.

Passo 7

Fazer as manipulações algébricas que levam à fórmula de Compton (detalhar cada cancelamento).
  • Expandindo o lado esquerdo:
E^2 + (m_e c^2)^2 + E'^2 + 2E m_e c^2 - 2E E' - 2 m_e c^2 E'
igual ao lado direito
E^2 + E'^2 - 2EE'\cos\theta + (m_e c^2)^2.
  • Cancelam-se E^2, E'^2 e (m_e c^2)^2 em ambos os lados. Ficamos com
2E m_e c^2 - 2E E' - 2 m_e c^2 E' = -2EE'\cos\theta.
  • Dividindo por 2 e rearranjando:
m_e c^2(E - E') = EE'(1 - \cos\theta).
Comentário: esta é uma relação que envolve só energias e o ângulo \theta.

Passo 8

Passar da fórmula em energias para a fórmula em comprimentos de onda (a relação característica).
  • Substituir E=\dfrac{hc}{\lambda} e E'=\dfrac{hc}{\lambda'} na igualdade do Passo 7:
m_e c^2\!\left(\frac{hc}{\lambda}-\frac{hc}{\lambda'}\right)=\frac{h^2 c^2}{\lambda\lambda'}(1-\cos\theta).
  • Simplificar (cortar fatores comuns) e manipular para isolar \lambda'-\lambda; após cancelamentos obtém-se a forma clássica:
\lambda' - \lambda = \frac{h}{m_e c}\,(1-\cos\theta).
  • Definindo a quantidade \lambda_C=\dfrac{h}{m_e c} (comprimento de onda de Compton do elétron), a fórmula fica ainda mais clara:
\boxed{\lambda' - \lambda = \lambda_C\,(1-\cos\theta).}
Explicação das variáveis nesta fórmula: \lambda é o comprimento de onda do fóton incidente, \lambda' o do fóton espalhado, \theta o ângulo entre a direção incidente e a espalhada; \lambda_C é constante: para o elétron \lambda_C \approx 2{,}426\times 10^{-12}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Interpretação física e consequências (como usar a fórmula na prova).
  • Significado imediato: o fóton espalhado tem sempre comprimento de onda maior ou igual ao do incidente ( \lambda' \ge \lambda), pois 1-\cos\theta\ge 0. Ou seja, o fóton perde energia para o elétron.
  • Dependência angular: para \theta=0 (espalhamento para frente) tem \lambda'=\lambda (nenhuma troca de energia); para \theta=\pi (retroespalhamento, volta), o aumento é máximo: \lambda' - \lambda = 2\lambda_C.
  • Relação em energias útil em problemas: a partir de \lambda' - \lambda = \lambda_C(1-\cos\theta) e E=hc/\lambda resulta também
\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}=\frac{1}{m_e c^2}(1-\cos\theta).
  • Limites clássicos: se a energia do fóton é muito menor que m_e c^2 (raios X/visível muito longos comparados a \lambda_C), o deslocamento \lambda' - \lambda é pequeno e a interação pode ser aproximada pelo espalhamento Thomson clássico; o efeito Compton é especialmente notável para fótons de alta energia (raios X, γ).
  • Importância histórica e conceitual: o efeito forneceu evidência direta da quantização da luz (fótons com momento e energia) e ajudou a consolidar a natureza corpuscular da radiação eletromagnética.

Passo 10

Exemplo numérico rápido (aplicação concreta para fixar a ideia).
  • Deslocamento máximo (retroespalhamento \theta=\pi):
\Delta\lambda_{\max} = 2\lambda_C \approx 2 \times 2{,}426\times 10^{-12}\\ \mathrm{m} \approx 4{,}852\times 10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: essa mudança é pequena em termos absolutos, por isso o efeito foi observado com raios X e raios γ, não com luz visível (onde a mudança é desprezível).

Resposta

\lambda'-\lambda=\dfrac{h}{m_e c}\,(1-\cos\theta).
O fóton espalhado tem comprimento de onda maior (energia menor) que o incidente; a diferença depende do ângulo de espalhamento \theta e do comprimento de onda de Compton \lambda_C=\dfrac{h}{m_e c}.

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