Reduza \chi, para suas representações irredutiveis, usando o TGO.
Passo 1
O enunciado pede: “Reduza \chi para suas representações irredutíveis, usando o TGO.”\n
Informações que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram enviadas):
Qual é o grupo G (ou |G|);\n
A tabela de classes conjugadas (número de classes e tamanhos de cada classe);\n
Os valores da função caractere \chi em cada classe conjugada (ou a tabela de caracteres completa).\n
Sem esses dados concretos não é possível calcular os coeficientes numéricos da decomposição de \chi. A seguir eu explico passo a passo o método (TGO) que você deve aplicar na prova e mostro um exemplo concreto para você praticar.
Passo 2
O que é o TGO (Teorema das Grandes Ortogonalidades) na forma que vamos usar:\n
Definimos o produto interno entre duas funções de classe (caracteres) \varphi e \psi por
a soma percorre todos os elementos g\in G (na prática somamos por classes conjugadas);\n
\overline{\psi(g)} é o conjugado complexo de \psi(g) (se os valores forem reais, é só o mesmo número).\n
O TGO garante que os caracteres irreducíveis \{\chi^{(i)}\} são ortonormais:
\langle \chi^{(i)},\chi^{(j)}\rangle=\delta_{ij}.
Passo 3
Fórmula prática para obter multiplicidades (coeficientes) da decomposição:\n
Sejam \chi o caractere que queremos decompor e \{\chi^{(i)}\} os caracteres irreducíveis conhecidos. O número de vezes que a representação irredutível i aparece em \chi é
Faça as somas por classes (isso reduz muito o trabalho).\n
6. Verifique que cada n_i é inteiro não-negativo e que \chi(1)=\sum_i n_i\,\chi^{(i)}(1) e/ou \langle\chi,\chi\rangle=\sum_i n_i^2 para conferir consistência.
Passo 5
Exemplo concreto e totalmente calculado (prática): decomposição da representação permutacional de S_3 sobre 3 pontos.\n
Dados de S_3:
|G|=6.\n
Classes conjugadas (representante e tamanho):
C_3=\{\text{3-ciclos}\}, |C_3|=2, representante (123).\n
Caracteres irreducíveis de S_3 (tabela conhecida):
\chi^{(1)} (trivial): valores (1,1,1) nas classes C_1,C_2,C_3;\n
\chi^{(\text{sgn})} (sinal): valores (1,-1,1);\n
\chi^{(2)} (irredutível de dimensão 2): valores (2,0,-1).\n
Caractere \chi da representação permutacional natural em 3 pontos (valores que você poderia receber no enunciado): \chi(e)=3, \chi(\text{transp})=1, \chi(\text{3-ciclo})=0.\n
Calcule os coeficientes n_i.
Verificação: \chi(1)=3=1\cdot 1 + 1\cdot 2. E \langle\chi,\chi\rangle=1^2+0^2+1^2=2 (que corresponde ao fato de que a representação permutacional não é irredutível e tem duas componentes distintas).
Passo 6
Dicas de prova e truques rápidos:
Sempre some por classes; nunca some elemento a elemento se houver classes.\n
Se \chi for real, pode omitir conjugado; se houver valores complexos, não esqueça o conjugado.\n
Use a dimensão \chi(1) para limitar possibilidades: \sum_i n_i\,\chi^{(i)}(1)=\chi(1).\n
Depois de achar todos os n_i, reescreva \chi=\sum_i n_i\chi^{(i)} como resultado final.\n
Se ficar em dúvida numérica, confira \langle\chi,\chi\rangle=\sum_i n_i^2.
Resposta
Não é possível determinar a decomposição numérica de \chi porque o enunciado não forneceu o grupo, as classes conjugadas nem os valores de \chi nas classes. Aplicando o procedimento do TGO (descrito acima) com esses dados você obtém os coeficientes n_i pela fórmula