Reduza \chi, para suas representações irredutiveis, usando o TGO.

Passo 1

O enunciado pede: “Reduza \chi para suas representações irredutíveis, usando o TGO.”\n
Informações que o enunciado deveria fornecer (mas que não foram enviadas):
  • Qual é o grupo G (ou |G|);\n
  • A tabela de classes conjugadas (número de classes e tamanhos de cada classe);\n
  • Os valores da função caractere \chi em cada classe conjugada (ou a tabela de caracteres completa).\n
    Sem esses dados concretos não é possível calcular os coeficientes numéricos da decomposição de \chi. A seguir eu explico passo a passo o método (TGO) que você deve aplicar na prova e mostro um exemplo concreto para você praticar.

Passo 2

O que é o TGO (Teorema das Grandes Ortogonalidades) na forma que vamos usar:\n
Definimos o produto interno entre duas funções de classe (caracteres) \varphi e \psi por
\langle \varphi,\psi\rangle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\varphi(g)\overline{\psi(g)}.
Explicando cada símbolo:
  • |G| é a ordem do grupo (número de elementos);\n
  • a soma percorre todos os elementos g\in G (na prática somamos por classes conjugadas);\n
  • \overline{\psi(g)} é o conjugado complexo de \psi(g) (se os valores forem reais, é só o mesmo número).\n
    O TGO garante que os caracteres irreducíveis \{\chi^{(i)}\} são ortonormais:
\langle \chi^{(i)},\chi^{(j)}\rangle=\delta_{ij}.

Passo 3

Fórmula prática para obter multiplicidades (coeficientes) da decomposição:\n
Sejam \chi o caractere que queremos decompor e \{\chi^{(i)}\} os caracteres irreducíveis conhecidos. O número de vezes que a representação irredutível i aparece em \chi é
n_i=\langle \chi,\chi^{(i)}\rangle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)\overline{\chi^{(i)}(g)}.
Para computação por classes conjugadas: suponha que as classes conjuguadas sejam C_1,\dots,C_k, com representantes g_j e tamanhos |C_j|. Então
n_i=\frac{1}{|G|}\sum_{j=1}^{k}|C_j|\,\chi(g_j)\,\overline{\chi^{(i)}(g_j)}.
Observações úteis:
  • Cada n_i deve ser um inteiro não-negativo;\n
  • Verificação rápida: \chi(1)=\sum_i n_i\,\chi^{(i)}(1), ou seja, a dimensão da representação é soma das dimensões irreducíveis ponderadas por n_i;\n
  • Outra verificação: \langle \chi,\chi\rangle=\sum_i n_i^2 (pois \chi=\sum_i n_i\chi^{(i)} e os \chi^{(i)} são ortonormais).

Passo 4

Receita passo a passo para você aplicar numa prova (sem calculadora complicada):
  1. Identifique o grupo G e escreva |G|.\n
  2. Liste as classes conjugadas C_j com seus tamanhos |C_j| e escolha representantes g_j.\n
  3. Anote os valores \chi(g_j) (isso deve vir do enunciado).\n
  4. Pegue a tabela dos caracteres irreducíveis \chi^{(i)}(g_j) (normalmente fornecida ou conhecida para grupos pequenos).\n
  5. Para cada i, calcule
n_i=\frac{1}{|G|}\sum_{j}|C_j|\,\chi(g_j)\,\overline{\chi^{(i)}(g_j)}.
Faça as somas por classes (isso reduz muito o trabalho).\n
6. Verifique que cada n_i é inteiro não-negativo e que \chi(1)=\sum_i n_i\,\chi^{(i)}(1) e/ou \langle\chi,\chi\rangle=\sum_i n_i^2 para conferir consistência.

Passo 5

Exemplo concreto e totalmente calculado (prática): decomposição da representação permutacional de S_3 sobre 3 pontos.\n
Dados de S_3:
  • |G|=6.\n
    Classes conjugadas (representante e tamanho):
  • C_1=\{e\}, |C_1|=1, representante e;\n
  • C_2=\{\text{transposições}\}çõ, |C_2|=3, representante (12);\n
  • C_3=\{\text{3-ciclos}\}, |C_3|=2, representante (123).\n
    Caracteres irreducíveis de S_3 (tabela conhecida):
  • \chi^{(1)} (trivial): valores (1,1,1) nas classes C_1,C_2,C_3;\n
  • \chi^{(\text{sgn})} (sinal): valores (1,-1,1);\n
  • \chi^{(2)} (irredutível de dimensão 2): valores (2,0,-1).\n
    Caractere \chi da representação permutacional natural em 3 pontos (valores que você poderia receber no enunciado):
    \chi(e)=3, \chi(\text{transp})=1, \chi(\text{3-ciclo})=0.\n
    Calcule os coeficientes n_i.
Para \chi^{(1)}:
n_1=\frac{1}{6}\big(1\cdot 3\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot 1 + 2\cdot 0\cdot 1\big)=\frac{1}{6}(3+3+0)=1.
Para \chi^{(\text{sgn})}:
n_{\text{sgn}}=\frac{1}{6}\big(1\cdot 3\cdot 1 + 3\cdot 1\cdot(-1) + 2\cdot 0\cdot 1\big)=\frac{1}{6}(3-3+0)=0.
Para \chi^{(2)}:
n_2=\frac{1}{6}\big(1\cdot 3\cdot 2 + 3\cdot 1\cdot 0 + 2\cdot 0\cdot(-1)\big)=\frac{1}{6}(6+0+0)=1.
Portanto a decomposição é
\chi=\chi^{(1)}+\chi^{(2)}.
Verificação: \chi(1)=3=1\cdot 1 + 1\cdot 2. E \langle\chi,\chi\rangle=1^2+0^2+1^2=2 (que corresponde ao fato de que a representação permutacional não é irredutível e tem duas componentes distintas).

Passo 6

Dicas de prova e truques rápidos:
  • Sempre some por classes; nunca some elemento a elemento se houver classes.\n
  • Se \chi for real, pode omitir conjugado; se houver valores complexos, não esqueça o conjugado.\n
  • Use a dimensão \chi(1) para limitar possibilidades: \sum_i n_i\,\chi^{(i)}(1)=\chi(1).\n
  • Depois de achar todos os n_i, reescreva \chi=\sum_i n_i\chi^{(i)} como resultado final.\n
  • Se ficar em dúvida numérica, confira \langle\chi,\chi\rangle=\sum_i n_i^2.

Resposta

Não é possível determinar a decomposição numérica de \chi porque o enunciado não forneceu o grupo, as classes conjugadas nem os valores de \chi nas classes. Aplicando o procedimento do TGO (descrito acima) com esses dados você obtém os coeficientes n_i pela fórmula
n_i=\frac{1}{|G|}\sum_{j}|C_j|\,\chi(g_j)\,\overline{\chi^{(i)}(g_j)}.

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