(1,0 pt) Sejam
u_{1}=(1,1,1), \quad u_{2}=(1,2,3), \quad u_{3}=(2,-1,1), \quad v=(1,-2,5) .
a) Verifique se v é combinação linear de u_{1}, u_{2}, u_{3}.
b) Monte e resolva o sistema correspondente utilizando o método da eliminação de Gauss.
c) Explique o resultado usando o teorema que relaciona solução de A X=B e combinação linear das colunas de A.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
u_{1}=(1,1,1),\qquad u_{2}=(1,2,3),\qquad u_{3}=(2,-1,1),\qquad v=(1,-2,5).
As perguntas são:
(a) Verificar se v é combinação linear de u_{1},u_{2},u_{3} (isto é, se existem escalares que multiplicados pelos u_i somam v).
(b) Montar e resolver o sistema correspondente usando eliminação de Gauss.
(c) Explicar o resultado usando o teorema que relaciona solução de A X=B com combinação linear das colunas de A.
Também foi dada a instrução de proceder passo a passo e didaticamente, então primeiro vamos traduzir (a) para um sistema linear e só então aplicar Gauss.

Passo 2

O que significa ser combinação linear? Dizer que v é combinação linear de u_{1},u_{2},u_{3} significa que existem escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha u_{1}+\beta u_{2}+\gamma u_{3}=v.
Escrevendo por coordenadas, isso vira o sistema (cada linha corresponde a uma coordenada):
\alpha\cdot(1)+\beta\cdot(1)+\gamma\cdot(2)=1,
\alpha\cdot(1)+\beta\cdot(2)+\gamma\cdot(-1)=-2,
\alpha\cdot(1)+\beta\cdot(3)+\gamma\cdot(1)=5.
Em forma matricial, com A tendo colunas u_1,u_2,u_3 e x=(\alpha,\beta,\gamma)^T, b=v, obtemos
A x = b,\quad A=\begin{pmatrix}1&1&2\\[2pt]1&2&-1\\[2pt]1&3&1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Agora vamos resolver esse sistema pelo método de eliminação de Gauss.]

Passo 3

Rápida explicação do método de eliminação de Gauss (passo-a-passo que se usa na prova):
  • Objetivo: transformar a matriz aumentada [A\mid b] em forma triangular superior usando operações elementares de linha, e depois fazer substituição regressiva para encontrar as incógnitas.
  • Operações permitidas (que preservam o conjunto de soluções): (i) trocar duas linhas, (ii) multiplicar uma linha por escalar não nulo, (iii) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Depois de obter uma matriz triangular, lê-se a última equação para obter a última incógnita, substitui-se para cima e assim por diante (substituição regressiva).
Vamos aplicar isso à matriz aumentada construída no Passo 2.

Passo 4

Matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 3 & 1 & 5 \end{array}\right).
Primeiro, zeramos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_i\leftarrow R_i-R_1 para i=2,3):
R_2\leftarrow R_2-R_1:
(1,2,-1|-2) - (1,1,2|1) = (0,1,-3|-3).
R_3\leftarrow R_3-R_1:
(1,3,1|5) - (1,1,2|1) = (0,2,-1|4).
Agora a matriz é
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 4 \end{array}\right).
Próximo pivô é a entrada (2,2) que já vale 1. Zeramos a entrada (3,2) usando R_3\leftarrow R_3-2R_2:
2 - 2\cdot1 = 0 na coluna 2,
coluna 3: -1 - 2\cdot(-3) = -1 +6 = 5,
coluna do lado direito: 4 - 2\cdot(-3) = 4+6 =10.
Fica a matriz triangular superior
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 5 & 10 \end{array}\right).]

Passo 5

Agora fazemos substituição regressiva para encontrar \alpha,\beta,\gamma.
Da terceira linha (equação correspondente):
5\gamma = 10 \quad\Rightarrow\quad \gamma= \frac{10}{5}=2.
Da segunda linha:
\beta - 3\gamma = -3 \quad\Rightarrow\quad \beta - 3\cdot 2 = -3 \quad\Rightarrow\quad \beta -6 = -3 \quad\Rightarrow\quad \beta = 3.
Da primeira linha:
\alpha + \beta + 2\gamma = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha + 3 + 2\cdot 2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \alpha + 3 +4 =1 \quad\Rightarrow\quad \alpha +7 =1 \quad\Rightarrow\quad \alpha = -6.
Portanto a solução do sistema é
(\alpha,\beta,\gamma)=(-6,\,3,\,2).

Passo 6

Verificação direta (sempre faça isso na prova se der tempo): calcular a combinação
-6u_1 + 3u_2 + 2u_3 = -6(1,1,1) + 3(1,2,3) + 2(2,-1,1).
Coordenada a coordenada:
(-6+3+4,\; -6+6-2,\; -6+9+2) = (1,\; -2,\; 5)=v,
logo a solução está correta: v é de fato combinação linear de u_1,u_2,u_3.
Podemos ainda interpretar a forma da solução: durante a eliminação obtivemos pivôs em todas as três linhas/colunas (matriz triangular com diagonal (1,1,5)), o que mostra que A tem posto 3. Assim A é inversível e a solução é única. (Observação rápida: o produto das diagonais na forma triangular dá \det(A)=1\cdot1\cdot5=5\neq0, confirmando que A é invertível.)

Passo 7

Explicação teórica pedida (ligando A X=B e combinação linear das colunas):
  • Se A é a matriz cujas colunas são u_1,u_2,u_3 e x=(\alpha,\beta,\gamma)^T, então a multiplicação matricial A x produz exatamente a combinação linear \alpha u_1+\beta u_2+\gamma u_3. Logo resolver A x=b é exatamente encontrar coeficientes que expressem b como combinação linear das colunas de A.
  • Consequências importantes para a prova:
    • A x=b tem solução se, e somente se, b pertence ao espaço gerado (span) das colunas de A.
    • Se as colunas de A forem linearmente independentes (posto igual ao número de colunas), então a solução, quando existir, é única; se existirem dependências, pode haver infinitas soluções ou nenhuma, dependendo se b está no span.
      No nosso caso, b=v está no span das colunas e as colunas são independentes (posto 3), portanto existe uma e somente uma solução, que encontramos como (\alpha,\beta,\gamma)=(-6,3,2).

Resposta

(a) Sim. v é combinação linear de u_{1},u_{2},u_{3}: v=-6u_{1}+3u_{2}+2u_{3}.
(b) Solução do sistema (obtida por eliminação de Gauss): \alpha=-6,\\ \beta=3,\\ \gamma=2.
(c) Pelo teorema, A x=b tem solução exatamente quando b pertence ao espaço gerado pelas colunas de A; aqui v pertence a esse espaço, e como A tem posto 3 (é invertível) a solução é única.

Exercícios relacionados