A verificação de invertibilidade deve usar operações elementares (ou seja, argumentos que podem incluir redução por linhas, expansão por cofactores, etc.).
Se A for invertível, precisa-se encontrar explicitamente A^{-1}.
Passo 2
Conceito importante (explicação curta e útil para a prova): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Uma maneira rápida de calcular o determinante quando há zeros em uma coluna (ou linha) é expandir por essa coluna (ou linha). Aqui a primeira coluna tem dois zeros, então é conveniente expandir por ela.
Cálculo do determinante por expansão na primeira coluna:
Conclusão: A é invertível (pois seu determinante é diferente de zero). Essa resposta resolve a parte (a).]
Passo 3
Método para achar A^{-1} (aula rápida): usar Gauss–Jordan no sistema matricial [A\mid I] — ou seja, montar a matriz aumentada com A à esquerda e a matriz identidade I à direita, e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar a parte esquerda em I. Quando a parte esquerda for I, a parte direita será A^{-1}. Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar a múltipla de uma linha a outra.
Observação: a primeira coluna já está boa (tem 1 na posição (1,1) e zeros abaixo), então mantemos a primeira linha e passamos a pivotar na segunda coluna.
Para criar um pivô 1 na posição (2,2), dividimos a linha 2 por 3: