(1,0 pt) Considere
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 7 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right)
a) Verifique se A é invertível usando operações elementares.
b) Caso seja, determine A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A e pede duas coisas:
  • (a) Verificar se A é invertível usando operações elementares.
  • (b) Se for invertível, determinar A^{-1}.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 7 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}.
Informações relevantes do enunciado:
  • A é uma matriz 3\times3.
  • A verificação de invertibilidade deve usar operações elementares (ou seja, argumentos que podem incluir redução por linhas, expansão por cofactores, etc.).
  • Se A for invertível, precisa-se encontrar explicitamente A^{-1}.

Passo 2

Conceito importante (explicação curta e útil para a prova): uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Uma maneira rápida de calcular o determinante quando há zeros em uma coluna (ou linha) é expandir por essa coluna (ou linha). Aqui a primeira coluna tem dois zeros, então é conveniente expandir por ela.
Cálculo do determinante por expansão na primeira coluna:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}
porque os outros termos da expansão são multiplicados por zeros. Agora calcule o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}=3\cdot2-1\cdot5=6-5=1.
Portanto
\det(A)=1\neq 0.
Conclusão: A é invertível (pois seu determinante é diferente de zero). Essa resposta resolve a parte (a).]

Passo 3

Método para achar A^{-1} (aula rápida): usar Gauss–Jordan no sistema matricial [A\mid I] — ou seja, montar a matriz aumentada com A à esquerda e a matriz identidade I à direita, e aplicar operações elementares sobre linhas até transformar a parte esquerda em I. Quando a parte esquerda for I, a parte direita será A^{-1}. Operações elementares permitidas: trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar a múltipla de uma linha a outra.
Começamos com a matriz aumentada inicial:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 7 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 4

Observação: a primeira coluna já está boa (tem 1 na posição (1,1) e zeros abaixo), então mantemos a primeira linha e passamos a pivotar na segunda coluna.
Para criar um pivô 1 na posição (2,2), dividimos a linha 2 por 3:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_2.
Aplicando:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 7 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Explicação do porquê: ter um pivô 1 facilita eliminar outros elementos da coluna com multiplicações e subtrações inteiras (ou racionais simples).]

Passo 5

Agora eliminamos o elemento (3,2)=5 usando a nova R_2. Fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2.
Cálculo linha a linha (para a parte direita também):
  • Na parte esquerda: [0\;5\;2] - 5[0\;1\;\tfrac{1}{3}] = [0\;0\;2 - \tfrac{5}{3}] = [0\;0\;\tfrac{1}{3}].
  • Na parte direita: [0\;0\;1] - 5[0\;\tfrac{1}{3}\;0] = [0\; -\tfrac{5}{3}\;1].
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 7 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{5}{3} & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Para ter o pivô 1 também na terceira linha, multiplicamos R_3 por 3:
R_3 \leftarrow 3R_3.
Isso dá
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 7 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -5 & 3 \end{array}\right).
Agora a parte esquerda está em forma triangular com pivôs 1 nas posições (1,1), (2,2), (3,3).]

Passo 7

Voltamos eliminando os elementos acima do pivô da terceira coluna. Primeiro, zeramos a entrada (2,3)=\tfrac{1}{3} com
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{3}R_3.
Cálculo da parte direita:
  • A parte direita de R_2 era [0\;\tfrac{1}{3}\;0].
  • \tfrac{1}{3} vezes a parte direita de R_3 é \tfrac{1}{3}[0\; -5\;3] = [0\; -\tfrac{5}{3}\;1].
  • Subtraindo: [0\;\tfrac{1}{3}\;0] - [0\; -\tfrac{5}{3}\;1] = [0;\tfrac{1}{3}+\tfrac{5}{3}; -1] = [0;2;-1].
Para a parte esquerda, a operação zera o \tfrac{1}{3} na posição (2,3). Resultado após essa operação:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 7 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -5 & 3 \end{array}\right).
Em seguida, zeramos o elemento (1,3)=7 com
R_1 \leftarrow R_1 - 7R_3.
Cálculo da parte direita:
  • A parte direita de R_1 era [1\;0\;0].
  • 7 vezes a parte direita de R_3 é 7[0\; -5\;3] = [0\; -35\;21].
  • Subtraindo: [1\;0\;0] - [0\; -35\;21] = [1\;35\; -21].
A parte esquerda fica [1\;2\;0] após eliminar o 7. Matriz resultante:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 35 & -21\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -5 & 3 \end{array}\right).]

Passo 8

Por fim, eliminamos o elemento (1,2)=2 usando R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
Cálculo da parte direita:
  • A parte direita de R_1 é [1\;35\; -21].
  • 2 vezes a parte direita de R_2 é 2[0\;2\; -1] = [0\;4\; -2].
  • Subtraindo: [1\;35\; -21] - [0\;4\; -2] = [1\;31\; -19].
A parte esquerda fica [1\;0\;0]. Assim obtemos a matriz aumentada final:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 31 & -19\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -5 & 3 \end{array}\right).
Quando a parte esquerda é a identidade, a parte direita é exatamente A^{-1}. Portanto encontramos A^{-1}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 31 & -19\\[4pt] 0 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -5 & 3 \end{pmatrix}]

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