( \mathbf{1 , 0}\) pt) Considere a matriz \(A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}\) definida por \[a_{i j}= \begin{cases}i+j, & \text { se } i=j \\\ (i-j)^{2}, & \text { se } i \neq j\end{cases}
a) Determine A^{T}\]. b) Verifique se \(A é simétrica, antissimétrica ou nenhuma. Justifique.
c) Calcule A+A^{T} e classifique a matriz resultante.

Passo 1

O enunciado nos dá uma matriz A=(a_{ij})\) de ordem \(3\times3\) com entradas definidas por \[a_{ij}=\begin{cases} i+j, & \text{se } i=j,\\[4pt] (i-j)^{2}, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar A^{T}\] (a transposta de \(A).
b) Verificar se A é simétrica, antissimétrica (skew-simétrica) ou nenhuma das duas, com justificativa.
c) Calcular A+A^{T} e classificar a matriz resultante.]

Passo 2

Primeiro vamos montar a matriz A calculando cada entrada a_{ij} para i,j\in\{1,2,3\}.
  • Linha i=1:
    • a_{11}=1+1=2.
    • a_{12}=(1-2)^{2}=(-1)^{2}=1.
    • a_{13}=(1-3)^{2}=(-2)^{2}=4.
  • Linha i=2:
    • a_{21}=(2-1)^{2}=1^{2}=1.
    • a_{22}=2+2=4.
    • a_{23}=(2-3)^{2}=(-1)^{2}=1.
  • Linha i=3:
    • a_{31}=(3-1)^{2}=2^{2}=4.
    • a_{32}=(3-2)^{2}=1^{2}=1.
    • a_{33}=3+3=6.
Portanto
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição rápida: a transposta A^{T} de uma matriz A tem entradas (A^{T})_{ij}=a_{ji}. Ou seja, trocamos linhas por colunas.
Aplicando isso a A, cada elemento da linha i, coluna j em A^{T} é o elemento da linha j, coluna i de A. Usando a matriz que calculamos:
A^{T}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}\\[4pt] a_{12} & a_{22} & a_{32}\\[4pt] a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora as definições que vamos usar para classificar A:
  • Uma matriz B é simétrica se B^{T}=B. Em palavras: espelhar em relação à diagonal principal não muda a matriz.
  • Uma matriz B é antissimétrica (ou skew-simétrica) se B^{T}=-B. Uma consequência imediata disso é que todos os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque para i=j temos b_{ii}=-b_{ii}\Rightarrow b_{ii}=0.
Vamos verificar A:
  • Comparando A^{T} com A vemos que são exatamente iguais (entradas correspondentes coincidem), portanto A^{T}=A. Logo A é simétrica.
  • Para ser antissimétrica seria preciso A^{T}=-A. Mas já que A^{T}=A e os elementos da diagonal de A são 2,4,6 (não nulos), não é possível ter A^{T}=-A. Portanto A não é antissimétrica.
Conclusão: A é simétrica (e não é antissimétrica).

Passo 5

Calculemos A+A^{T}. Como A^{T}=A, tem-se
A+A^{T}=A+A=2A.
Basta dobrar cada entrada de A. Aplicando ao A obtido:
A+A^{T}=2\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 1 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 8\\[4pt] 2 & 8 & 2\\[4pt] 8 & 2 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Classificação da matriz A+A^{T}:
  • Soma de uma matriz com a sua transposta (ou soma de matrizes simétricas) é sempre simétrica, pois (A+A^{T})^{T}=A^{T}+(A^{T})^{T}=A^{T}+A=A+A^{T}.
  • Verificando diretamente, a matriz acima é igual à sua transposta, logo é simétrica.

Resposta

a) A^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\[4pt] 1 & 4 & 1\\[4pt] 4 & 1 & 6 \end{pmatrix}
b) A é simétrica.
c) A+A^{T}=\begin{pmatrix} 4 & 2 & 8\\[4pt] 2 & 8 & 2\\[4pt] 8 & 2 & 12 \end{pmatrix},
e essa matriz é simétrica.]

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