( \mathbf{1 , 0}\) pt) Considere a matriz \(A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}\) definida por
\[a_{i j}= \begin{cases}i+j, & \text { se } i=j \\\ (i-j)^{2}, & \text { se } i \neq j\end{cases}
a) Determine A^{T}\].
b) Verifique se \(A é simétrica, antissimétrica ou nenhuma. Justifique.
c) Calcule A+A^{T} e classifique a matriz resultante.
Passo 1
O enunciado nos dá uma matriz A=(a_{ij})\) de ordem \(3\times3\) com entradas definidas por
\[a_{ij}=\begin{cases} i+j, & \text{se } i=j,\\[4pt] (i-j)^{2}, & \text{se } i\neq j. \end{cases}
As perguntas são:
a) Determinar A^{T}\] (a transposta de \(A).
b) Verificar se A é simétrica, antissimétrica (skew-simétrica) ou nenhuma das duas, com justificativa.
c) Calcular A+A^{T} e classificar a matriz resultante.]
Passo 2
Primeiro vamos montar a matriz A calculando cada entrada a_{ij} para i,j\in\{1,2,3\}.
Agora as definições que vamos usar para classificar A:
Uma matriz B é simétrica se B^{T}=B. Em palavras: espelhar em relação à diagonal principal não muda a matriz.
Uma matriz B é antissimétrica (ou skew-simétrica) se B^{T}=-B. Uma consequência imediata disso é que todos os elementos da diagonal principal devem ser zero, porque para i=j temos b_{ii}=-b_{ii}\Rightarrow b_{ii}=0.
Vamos verificar A:
Comparando A^{T} com A vemos que são exatamente iguais (entradas correspondentes coincidem), portanto A^{T}=A. Logo A é simétrica.
Para ser antissimétrica seria preciso A^{T}=-A. Mas já que A^{T}=A e os elementos da diagonal de A são 2,4,6 (não nulos), não é possível ter A^{T}=-A. Portanto A não é antissimétrica.
Conclusão: A é simétrica (e não é antissimétrica).
Passo 5
Calculemos A+A^{T}. Como A^{T}=A, tem-se
A+A^{T}=A+A=2A.
Basta dobrar cada entrada de A. Aplicando ao A obtido: