1. (2.0 pt.) Transforme a equação não exata em exata e resolva.
\left(x^{3}-y^{3}\right) d x+\left(x y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(x^{3}-y^{3}\bigr)\,dx + \bigl(xy^{2}\bigr)\,dy = 0
e pede para torná-la exata e resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar a exatidão, encontrar um fator integrante (dependente só de x) e depois achar a função potencial.

Passo 2

Chamemos
M(x,y) = x^{3}-y^{3},\quad N(x,y)=xy^{2}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = -3y^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata.
Para buscar um fator integrante \mu(x), usamos
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{-3y^{2}-y^{2}}{xy^{2}} =-\frac{4}{x},
que depende só de x. Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{4}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-4\ln|x|) = x^{-4}.

Passo 3

Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^{-4}:
M^{*}=x^{-4}(x^{3}-y^{3})=x^{-1}-x^{-4}y^{3},\quad N^{*}=x^{-4}\,xy^{2}=x^{-3}y^{2}.
Verificamos a exatidão:
\frac{\partial M^{*}}{\partial y} =-3x^{-4}y^{2},\qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x} =-3x^{-4}y^{2},
portanto agora é exata.

Passo 4

Existe \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M^{*}=x^{-1}-x^{-4}y^{3}.
Integramos em x:
\psi(x,y) =\int x^{-1}\,dx \;-\;\int x^{-4}y^{3}\,dx =\ln|x| + \frac{y^{3}}{3\,x^{3}} + h(y).
Para achar h(y), calculamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =\;0\;+\;\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac{y^{3}}{3x^{3}}\Bigr) +h'(y) =x^{-3}y^{2}+h'(y)
e igualamos a N^{*}=x^{-3}y^{2}. Assim h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 5

A solução geral implícita é
\psi(x,y)=\ln|x| + \frac{y^{3}}{3x^{3}} = C.
Podemos reescrever multiplicando por 3:
3\ln|x| + \frac{y^{3}}{x^{3}} = C'.
Ou ainda
\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3} + 3\ln|x| = \text{constante}.

Resposta

\boxed{\ln|x| + \frac{y^{3}}{3x^{3}} = C,}
ou equivalentemente
\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr)^{3} + 3\ln|x| = C'.

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