- (2.0 pt.) Transforme a equação não exata em exata e resolva.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para torná-la exata e resolver. O conteúdo aqui é de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar a exatidão, encontrar um fator integrante (dependente só de
) e depois achar a função potencial.
Passo 2
Chamemos
Calculamos
Como
, não é exata.
Para buscar um fator integrante , usamos
Para buscar um fator integrante
que depende só de
. Logo
Passo 3
Multiplicamos a equação por
:
Verificamos a exatidão:
portanto agora é exata.
Passo 4
Existe
tal que
Integramos em
:
Para achar
, calculamos
e igualamos a
. Assim
, logo
é constante.
Passo 5
A solução geral implícita é
Podemos reescrever multiplicando por 3:
Ou ainda
Resposta
ou equivalentemente