1. (2.0 pt.) Resolva o problema de valor inicial abaixo:
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x e^{x} \\ y(1)=e-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dx}-\frac{y}{x}=x e^{x},\quad y(1)=e-1.
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) com P(x)=-\tfrac1x. Vamos usar o fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int -\tfrac1x\,dx\Bigr) =\exp(-\ln|x|) =x^{-1}.
Como estamos em x>0, fica \mu(x)=\tfrac1x.

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y=e^x.
Note que
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) =\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x^2}y,
ou seja, o lado esquerdo é \bigl(y/x\bigr)'.

Passo 4

Integrando ambos os lados em x:
\frac{y}{x}=\int e^x\,dx=e^x+C,
onde C é constante. Assim
y = x\bigl(e^x + C\bigr)=x e^x + Cx.

Passo 5

Impondo y(1)=e-1:
y(1)=e + C = e-1 \quad\Longrightarrow\quad C=-1.
Logo a solução particular é
y = x e^x - x.

Resposta

y(x)=x e^x - x.

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