Classifique as seguintes equações diferenciais em separáveis (S), lineares (L), exatas (E) ou nenhum dos tipos (N).
\left(3 x^{2}+y\right) d x+\left(x^{2} y-x\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(3x^{2} + y)\,dx + (x^{2}y - x)\,dy = 0
e pede para classificá-la como separável (S), linear (L), exata (E) ou nenhum desses (N). Vamos rever os testes de cada tipo.

Passo 2

Teste de separabilidade. Reescrevendo em forma de derivada:
\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2}+y}{\,x^{2}y - x\,}.
Para ser separável, o lado direito precisaria se escrever como f(x)\,g(y). Aqui temos
-\frac{3x^{2}+y}{x(xy - 1)} = -\frac{3x^{2}+y}{x^{2}y - x},
que não se decompõe em função só de x vezes função só de y. Logo não é separável.

Passo 3

Teste de exatidão. Defina
M(x,y) = 3x^{2}+y, \quad N(x,y) = x^{2}y - x.
Calcule
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x\,y - 1.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a forma não é exata.

Passo 4

Teste de linearidade. Tentar colocar em
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
leva a
\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2}+y}{x^{2}y - x},
e não é possível isolar y de modo a obter um P(x) e um Q(x) sem depender de y no denominador. Também não funciona como equação linear em x quando a reorganizamos em dx/dy. Portanto não é linear.

Resposta

N

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