Dada a EDO de 1^ a Ordem
(x y+y^2) d x-x^2 d y=0, x neq 0
(a) Verifique se tal EDO é Homogênea.
(b) Resolva tal EDO.

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem
(xy + y^2),dx - x^2,dy = 0,
em que x≠0. O que a questão pede é (a) testar se ela é homogênea e (b) resolvê-la usando técnicas de EDO homogênea, em especial a substituição y= v x.

Passo 2

Para verificar a homogeneidade, escrevemos
M(x,y) = x y + y^2,
N(x,y) = -x^2
Então
M(tx,ty) = t^2(xy + y^2) = t^2 M(x,y),
N(tx,ty) = -(tx)^2 = t^2 N(x,y)
Como ambos são homogêneos de grau 2, a EDO é homogênea.

Passo 3

Para resolver, passamos para a forma dy/dx. Da equação original:
(xy + y^2) - x^2dydx = 0
segue
dydx = xy + y^2x^2 = yx + l(yxr)^2
Aí usamos a substituição homogênea
y = v x,
então
dydx = v + xdvdx

Passo 4

Substituindo na equação de dy/dx
v + xdvdx = v + v^2
Cancelando v em ambos os lados resulta
xdvdx = v^2
e podemos separar variáveis:
dvv^2 = dxx

Passo 5

Integramos dos dois lados:
integral v^-2,dv = integral x^-1,dx
-1v = ln|x| + C
Voltando a v = y/x temos
-xy = ln|x| + C
ou, reescrevendo a constante,
xy + ln|x| = C'

Resposta

A solução geral é
xy + ln|x| = C onde C é constante arbitrária.

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