( 3,0 ptos) Determine a série de Taylor para a função f(x)=\ln (x) em x_{0}=1. Em seguida, determine o valor aproximado de \ln (3) usando a aproximação quadrática que pode ser obtida pela série. Você pode utilizar o computador, com o professor, para verificar se sua série está correta (utilizando o polinômio de grau 2, 3 ou 4).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar a série de Taylor de f(x)=\ln(x) centrada em x_{0}=1; (ii) usar a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau 2) obtida dessa série para estimar \ln(3).
Informações dadas: a função é f(x)=\ln(x) e o ponto de expansão é x_{0}=1. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula geral que usamos para expandir uma função em série de Taylor em torno de x_{0}=1. A fórmula do polinômio de Taylor de ordem n é:
P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k.
Se deixarmos n\to\infty e a série convergir, obtemos a série de Taylor (série de potência) da função em torno de 1:
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k,
onde f^{(k)}(1) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=1. Agora, precisamos calcular as derivadas de f(x)=\ln(x) e avaliá‑las em x=1.

Passo 3

Calculemos as primeiras derivadas de f(x)=\ln(x) e seus valores em x=1, explicando cada passo:
  • A função original é f(x)=\ln(x). Logo f(1)=\ln(1)=0.
  • Primeira derivada: f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},portanto f'(1)=\frac{1}{1}=1.
  • Segunda derivada: f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}},portanto f''(1)=-1.
  • Terceira derivada: f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{2}{x^{3}},então f^{(3)}(1)=2.
Observando o padrão, para n\ge 1 temos a fórmula geral
f^{(n)}(x)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\,x^{-n}.
Explicação do padrão: cada diferenciação gera um fator -1 e multiplica por um inteiro sucessivo, resultando em (n-1)!, e o fator x^{-n} vem da diferenciação de potências negativas. Assim, ao avaliar em x=1 obtemos
f^{(n)}(1)=(-1)^{\,n-1}(n-1)!\quad\text{para }n\ge 1,
e f(1)=0 corresponde ao caso n=0.

Passo 4

Agora colocamos isso na fórmula da série de Taylor. O coeficiente geral é
\frac{f^{(n)}(1)}{n!}=\frac{(-1)^{\,n-1}(n-1)!}{n!}=(-1)^{\,n-1}\frac{1}{n}\quad\text{para }n\ge 1,
e o termo constante (para n=0) é f(1)=0. Portanto a série de Taylor para \ln(x) centrada em x=1 fica
\boxed{\displaystyle \ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{(x-1)^{n}}{n}.}
Comentário sobre convergência (importante para usar a série): esta série é a série de Taylor de \ln(x) em torno de 1 e tem raio de convergência 1. Uma forma rápida de ver isso é usar o teste da razão nos termos \frac{(x-1)^n}{n}: o limite envolve |x-1| e resulta em necessidade de |x-1|<1. Assim, a série converge normalmente quando 0<x<2 (mais precisamente para |x-1|<1).

Passo 5

Agora construímos o polinômio de Taylor de grau 2 (aproximação quadrática) usando os valores das derivadas em 1. A fórmula do polinômio de grau 2 é
P_2(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2.
Substituindo f(1)=0, f'(1)=1 e f''(1)=-1, obtemos
\boxed{\displaystyle P_2(x)=(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2.}
Observação didática: esse polinômio é exatamente os dois primeiros termos da série infinita que encontramos (mais o termo de segunda ordem); é uma aproximação local boa para x próximo de 1. Para x longe de 1 essa aproximação pode ser ruim, pois estamos fora do intervalo de boa convergência.

Passo 6

Finalmente, aplicamos o polinômio P_2 para aproximar \ln(3). Calculando:
x=3\Rightarrow x-1=2,
então
P_2(3)= (3-1)-\frac{1}{2}(3-1)^2 = 2-\frac{1}{2}\cdot 4 = 2-2=0.
Portanto a aproximação quadrática centrada em 1 \ln(3)\approx 0. Vou comentar rapidamente: esse resultado é muito ruim comparado ao valor real \ln(3)\approx 1,0986 porque 3 está fora do raio de convergência |x-1|<1; a série (e, em particular, o polinômio truncado) não se comporta bem tão longe do ponto de expansão.

Resposta

\displaystyle \ln(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}\frac{(x-1)^{n}}{n}.
\displaystyle \ln(3)\approx 0.

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