( 3,0 ptos) Determine a série de Taylor para a função
em
. Em seguida, determine o valor aproximado de
usando a aproximação quadrática que pode ser obtida pela série. Você pode utilizar o computador, com o professor, para verificar se sua série está correta (utilizando o polinômio de grau 2, 3 ou 4).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar a série de Taylor de
centrada em
; (ii) usar a aproximação quadrática (polinômio de Taylor de grau 2) obtida dessa série para estimar
.
Informações dadas: a função é e o ponto de expansão é
. Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vou lembrar a fórmula geral que usamos para expandir uma função em série de Taylor em torno de
. A fórmula do polinômio de Taylor de ordem
é:
Se deixarmos
e a série convergir, obtemos a série de Taylor (série de potência) da função em torno de
:
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Agora, precisamos calcular as derivadas de
e avaliá‑las em
.
Passo 3
Calculemos as primeiras derivadas de
e seus valores em
, explicando cada passo:
- A função original é
. Logo - Primeira derivada:
portanto - Segunda derivada:
portanto - Terceira derivada:
então
Observando o padrão, para
temos a fórmula geral
Explicação do padrão: cada diferenciação gera um fator
e multiplica por um inteiro sucessivo, resultando em
, e o fator
vem da diferenciação de potências negativas. Assim, ao avaliar em
obtemos
e
corresponde ao caso
.
Passo 4
Agora colocamos isso na fórmula da série de Taylor. O coeficiente geral é
e o termo constante (para
) é
. Portanto a série de Taylor para
centrada em
fica
Comentário sobre convergência (importante para usar a série): esta série é a série de Taylor de
em torno de
e tem raio de convergência
. Uma forma rápida de ver isso é usar o teste da razão nos termos
: o limite envolve
e resulta em necessidade de
. Assim, a série converge normalmente quando
(mais precisamente para
).
Passo 5
Agora construímos o polinômio de Taylor de grau 2 (aproximação quadrática) usando os valores das derivadas em
. A fórmula do polinômio de grau 2 é
Substituindo
,
e
, obtemos
Observação didática: esse polinômio é exatamente os dois primeiros termos da série infinita que encontramos (mais o termo de segunda ordem); é uma aproximação local boa para
próximo de
. Para
longe de
essa aproximação pode ser ruim, pois estamos fora do intervalo de boa convergência.
Passo 6
Finalmente, aplicamos o polinômio
para aproximar
. Calculando:
então
Portanto a aproximação quadrática centrada em
dá
. Vou comentar rapidamente: esse resultado é muito ruim comparado ao valor real
porque
está fora do raio de convergência
; a série (e, em particular, o polinômio truncado) não se comporta bem tão longe do ponto de expansão.