Analise a convergência das séries aplicando os testes de convergência indicados.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(\ln (k))^{3}} \quad (teste da integral)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(\ln(k))^{3}} usando o teste da integral. Informações relevantes que temos:
  • A série está escrita como \sum_{k=1}^{\infty} a_k com a_k=\dfrac{1}{k(\ln k)^3}.
  • Observação importante: \ln 1 = 0, então o termo k=1 não está bem definido. Portanto a soma efetiva começa em k=2. Em prática vamos analisar \sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{1}{k(\ln k)^3}.
  • O teste pedido é o teste da integral: ele relaciona a convergência da série com a convergência da integral imprópria correspondente.

Passo 2

Vou enunciar (e explicar) o teste da integral de forma simples:
  • Seja f:(N,\infty)\to\mathbb{R} uma função positiva, contínua e decrescente quando x\ge N.
  • Se definirmos a_k=f(k) para k\ge N, então a série \sum_{k=N}^{\infty} a_k converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge.
    Explicando as peças: f é a função que “continua” os termos da sequência a_k; “contínua” significa sem saltos; “decrescente” significa f'(x)\le 0 para x\ge N; a integral imprópria é \int_N^\infty f(x)\,dx=\lim_{R\to\infty}\int_N^R f(x)\,dx. Se essa integral tem limite finito, dizemos que converge.

Passo 3

Aplicando o teste precisamos escolher f(x) tal que f(k)=a_k. Tome
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^3},
definida para x>1. Agora verifico as hipóteses do teste:
  • Positividade: para x>1 temos \ln x>0, portanto f(x)>0.
  • Continuidade: f é contínua para x>1 (não existe problema salvo em x=1 onde \ln x=0).
  • Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para mostrar que f'(x)<0 para x>1.
Cálculo da derivada passo a passo. Escrevo f(x)=(\ln x)^{-3} x^{-1}. Aplicando regra do produto:
u(x)=(\ln x)^{-3},\quad u'(x)=-3(\ln x)^{-4}\cdot\frac{1}{x},
v(x)=x^{-1},\quad v'(x)=-x^{-2}.
Logo
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = -3(\ln x)^{-4}\frac{1}{x}\cdot x^{-1} + (\ln x)^{-3}\cdot(-x^{-2}).
Fatorando -x^{-2}(\ln x)^{-4} obtemos
f'(x) = -\frac{3+\ln x}{x^{2}(\ln x)^{4}}.
Para x>1 temos \ln x>0 e 3+\ln x>0, portanto f'(x)<0. Conclusão: f é decrescente para x>1. Assim as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas (podemos tomar N=2).

Passo 4

Agora aplico o teste calculando a integral imprópria correspondente:
\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx.
Faço a substituição padrão para integrais com \ln x: seja t=\ln x. Então dt=\dfrac{1}{x}\,dx. Quando x=2 temos t=\ln 2; quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-3}\,dt.
Agora calculo a primitiva de t^{-3}. Sabemos que \int t^{n}\,dt = \dfrac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Aqui n=-3, então
\int t^{-3}\,dt = \frac{t^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2t^{2}}.
Avalio a integral imprópria:
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{-3}\,dt = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{2t^{2}}\right)\Bigg|_{t=\ln 2}^{t=T} = \lim_{T\to\infty}\left(-\frac{1}{2T^{2}} + \frac{1}{2(\ln 2)^{2}}\right).
O termo -\dfrac{1}{2T^{2}} tende a 0 quando T\to\infty. Portanto a integral vale
\frac{1}{2(\ln 2)^{2}},
que é um número finito. Conclusão: a integral converge.

Passo 5

Pelo teste da integral, como f é positiva, contínua e decrescente para x\ge 2 e a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{3}}\,dx converge (tem valor finito), a série \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k(\ln k)^{3}} também converge. Como o termo k=1 é indefinido, a série originalmente escrita a partir de k=1 é entendida como iniciando em k=2; portanto a série proposta converge. Um comentário útil para a prova: isso é o caso do teste geral para séries do tipo \sum \dfrac{1}{k(\ln k)^p}, que converge se p>1 e diverge se p\le 1. Aqui p=3>1.

Resposta

A série converge.

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