Analise a convergência das séries aplicando os testes de convergência indicados.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n+2}{3 n(n-1)} (teste da razão)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+2}{3n(n-1)}
e pede para analisar sua convergência usando o teste da razão. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n = (-1)^{n}\frac{n+2}{3n(n-1)}.
  • Note que em n=1 o denominador 3n(n-1) é zero, portanto o termo para n=1 é indefinido. Assim a série, tal como escrita, só faz sentido a partir de n=2. Vou, então, considerar a série a partir de n=2.
  • O teste pedido é o teste da razão (ou seja, analisar \lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}).

Passo 2

Para aplicar o teste da razão trabalho com os módulos dos termos (pois o teste da razão decide convergência absoluta). Defino
b_n = |a_n| = \frac{n+2}{3n(n-1)},\qquad n\ge2.
O teste da razão pede o cálculo do quociente
r_n=\frac{b_{n+1}}{b_n}.

Passo 3

Calculo explicitamente r_n. Temos
b_{n+1}=\frac{n+3}{3(n+1)n},
então
r_n=\frac{b_{n+1}}{b_n} =\frac{\dfrac{n+3}{3(n+1)n}}{\dfrac{n+2}{3n(n-1)}} =\frac{n+3}{(n+1)n}\cdot\frac{n(n-1)}{n+2}.
Cancelando o n e os fatores 3, isso simplifica para
r_n=\frac{(n+3)(n-1)}{(n+1)(n+2)}.

Passo 4

Avalio o limite de r_n quando n\to\infty. Observando os termos de maior ordem (ou dividindo numerador e denominador por n^2),
\lim_{n\to\infty} r_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2n-3}{n^2+3n+2}=1.
Pelo teste da razão: se o limite L<1 então a série absoluta converge, se L>1 diverge, e se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui L=1, portanto o teste da razão é inconclusivo para decidir convergência absoluta.

Passo 5

Como o teste da razão foi inconclusivo, investigamos a série absoluta por outro caminho. Vou comparar b_n com a sequência 1/n. Calculo
\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{1/n} =\lim_{n\to\infty} n\cdot\frac{n+2}{3n(n-1)} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{3(n-1)} =\frac{1}{3}.
O limite é finito e não nulo, portanto, pela comparação de limites (teste da comparação limite), \sum b_n tem o mesmo comportamento que \sum \frac{1}{n}. Como \sum \frac{1}{n} diverge (série harmônica), segue que \sum b_n diverge. Conclusão: a série não é absolutamente convergente.

Passo 6

Agora verifico convergência condicional (série alternada). Para aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternante) preciso que b_n seja monotonia decrescente a partir de algum N e que \lim_{n\to\infty}b_n=0.
Primeiro, o limite:
\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{3n(n-1)}=0,
porque o denominador cresce como n^2 e o numerador como n.
Segundo, mostro que b_n é decrescente para n\ge2. Já calculámos
\frac{b_{n+1}}{b_n}= \frac{(n+3)(n-1)}{(n+1)(n+2)}.
Note que
(n+1)(n+2)-(n+3)(n-1)= (n^2+3n+2)-(n^2+2n-3)=n+5>0\quad\text{para }n\ge2,
logo (n+3)(n-1)<(n+1)(n+2) e portanto \frac{b_{n+1}}{b_n}<1. Assim b_{n+1}<b_n para todo n\ge2: b_n é decrescente a partir de n=2.
Com b_n\searrow0 e termos alternados (-1)^n b_n, as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, logo a série alternada converge.

Passo 7

Juntando as conclusões:
  • A série das normas \sum |a_n|=\sum b_n diverge, então a série não é absolutamente convergente.
  • A série alternada \sum a_n converge pelo teste de Leibniz.
Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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