Analise a convergência das séries aplicando os testes de convergência indicados.
(teste da razão)
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para analisar sua convergência usando o teste da razão. Informações importantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - Note que em
o denominador é zero, portanto o termo para é indefinido. Assim a série, tal como escrita, só faz sentido a partir de . Vou, então, considerar a série a partir de . - O teste pedido é o teste da razão (ou seja, analisar
).
Passo 2
Para aplicar o teste da razão trabalho com os módulos dos termos (pois o teste da razão decide convergência absoluta). Defino
O teste da razão pede o cálculo do quociente
Passo 3
Calculo explicitamente
. Temos
então
Cancelando o
e os fatores
, isso simplifica para
Passo 4
Avalio o limite de
quando
. Observando os termos de maior ordem (ou dividindo numerador e denominador por
),
Pelo teste da razão: se o limite
então a série absoluta converge, se
diverge, e se
o teste é inconclusivo. Aqui
, portanto o teste da razão é inconclusivo para decidir convergência absoluta.
Passo 5
Como o teste da razão foi inconclusivo, investigamos a série absoluta por outro caminho. Vou comparar
com a sequência
. Calculo
O limite é finito e não nulo, portanto, pela comparação de limites (teste da comparação limite),
tem o mesmo comportamento que
. Como
diverge (série harmônica), segue que
diverge. Conclusão: a série não é absolutamente convergente.
Passo 6
Agora verifico convergência condicional (série alternada). Para aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternante) preciso que
seja monotonia decrescente a partir de algum
e que
.
Primeiro, o limite:
porque o denominador cresce como
e o numerador como
.
Segundo, mostro que
é decrescente para
. Já calculámos
Note que
logo
e portanto
. Assim
para todo
:
é decrescente a partir de
.
Com
e termos alternados
, as hipóteses do teste de Leibniz são satisfeitas, logo a série alternada converge.
Passo 7
Juntando as conclusões:
- A série das normas
diverge, então a série não é absolutamente convergente. - A série alternada
converge pelo teste de Leibniz.
Portanto a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.