(2,0 pts. ) Aplicando o Princípio do Máximo de Pontryagin resolver o seguinte problema de controle ótimo:
\begin{aligned} & \text { Sistema: } \quad \dot{x}=2 u, \quad t \in[0,4] \\\ & \text { Funcional a minimizar: } J=\int_{0}^{4}\left(x^{2}+u^{2}\right) d t \end{aligned}

Passo 1

O problema é um controle ótimo em tempo finito, com dinâmica
\dot{x}(t)=2\,u(t),\quad t\in[0,4],
e funcional de custo
J=\int_{0}^{4}\bigl(x(t)^2+u(t)^2\bigr)\,dt.
Vamos aplicar o Princípio do Máximo de Pontryagin. Note que precisamos de uma condição inicial x(0)=x_0 (dada) e, como não há restrição em x(4), vale a transversality condition p(4)=0.

Passo 2

Definimos o Hamiltoniano
H\bigl(x,u,p\bigr)=x^2+u^2+p\,(2u).
A condição de otimalidade w.r.t.\ u é
\frac{\partial H}{\partial u}=2u+2p=0 \quad\Longrightarrow\quad u^*(t)=-p(t).

Passo 3

As equações de custo adjunto e a transversality condition são
\dot{p}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}=-2\,x(t), \qquad p(4)=0.
Além disso a dinâmica do estado com o controle ótimo fica
\dot{x}(t)=2\,u^*(t)=-2\,p(t).

Passo 4

Das duas equações de primeira ordem obtemos uma única equação em x. Diferenciando \dot{x}=-2p e usando \dot p=-2x:
\ddot{x}(t)=-2\,\dot p(t)=4\,x(t).
A solução geral é
x(t)=A\,e^{2t}+B\,e^{-2t}.
Então
\dot{x}(t) =2A\,e^{2t}-2B\,e^{-2t}, \qquad p(t)=-\frac{\dot{x}(t)}{2}=-A\,e^{2t}+B\,e^{-2t},
e o controle
u^*(t)=-p(t)=A\,e^{2t}-B\,e^{-2t}.

Passo 5

Impondo as condições de contorno:
  1. x(0)=x_0\Rightarrow A+B=x_0. 2. p(4)=0\Rightarrow -A\,e^{8}+B\,e^{-8}=0 \;\;\Rightarrow B = A\,e^{16}. Assim
A\bigl(1+e^{16}\bigr)=x_0 \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{x_0}{1+e^{16}}, \qquad B=\frac{x_0\,e^{16}}{1+e^{16}}.

Resposta

O controle ótimo e a trajetória ótima são
x^*(t) =\frac{x_0}{1+e^{16}}\Bigl(e^{2t}+e^{16-2t}\Bigr), \qquad u^*(t) =\frac{x_0}{1+e^{16}}\Bigl(e^{2t}-e^{16-2t}\Bigr).

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