Calcule o fluxo de através de , sendo a superfície delimitada pelo triângulo de vértices e . Considere a orientação do vetor normal afastando-se da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é um triângulo formado pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de fluxo através de superfícies, vetores normais e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanto do campo “passa” por essa superfície. Para calcular, precisamos da orientação do vetor normal à superfície. A orientação deve afastar-se da origem, conforme o enunciado.
Passo 3
Vamos encontrar dois vetores que estão na superfície do triângulo. Podemos usar os vetores e :
Passo 4
Agora, calculamos o vetor normal à superfície usando o produto vetorial de e :
Passo 5
Precisamos que o vetor normal esteja afastando-se da origem. Vamos verificar o sentido. O ponto A está na origem do triângulo, então o vetor $ \vec{n} = (6, 9, 6) $ já está afastando da origem.
Passo 6
Agora, calculamos a área do triângulo para usar na fórmula do fluxo. A área é metade do módulo do vetor normal:
Área = 12 | n | = 12 raiz6^2 + 9^2 + 6^2 = 12 raiz36 + 81 + 36 = 12 raiz153 = raiz1532 Á
Passo 7
O fluxo é dado por:
Fluxo = F cdot n times Área Á
Primeiro, calculamos o produto escalar $ \vec{F} \cdot \vec{n} $. Como $ \vec{F}(x, y, z) = (x, 2y, 2z) $ e $ \vec{n} = (6, 9, 6) $:
F cdot n
Passo 8
Para simplificar, escolhemos um ponto (x, y, z) no triângulo para avaliar. Tomemos, por exemplo, o ponto médio do triângulo para facilitar os cálculos. Porém, como o campo é linear, podemos usar a integral diretamente.
Passo 9
Finalmente, calculamos o fluxo:
Fluxo = F cdot n times Área = (6x + 18y + 12z) times raiz1532 Á
Considerando a média dos valores de x, y, z no triângulo, encontramos que o fluxo total é proporcional à área e aos coeficientes do vetor normal.
Resposta
O fluxo de F através de S é $ \frac{6 \sqrt{153}}{2} = 3 \sqrt{153} $.