b) Construa um corpo com exatamente 27 elementos

Passo 1

O problema pede para construir um corpo com exatamente 27 elementos. Isso envolve teoria de corpos finitos: sabemos que todo corpo finito tem ordem p^n, onde p é primo e n ≥ 1, e que esse corpo pode ser obtido como um quociente de ,$\mathbb{F}_p[x]$ por um polinômio irreducível de grau n.

Passo 2

Observando que 27 = 3^3, concluímos que devemos trabalhar sobre , F3ôí\mathbb{F}_3[x]$.

Passo 3

Precisamos encontrar um polinômio monico de grau 3 em , F3[x]ãí\mathbb{F}_3$. Experimente o polinômio
F3
Testando em 0, 1 e 2:
  • p(x) = x^3 + 2x + 1
  • p(0)=1neq0
  • p(1)=1+2+1=4equiv1neq0pmod3
    Logo, p(2)=8+4+1=13equiv1neq0pmod3ã\mathbb{F}_3$ e, por ser de grau 3, é irreducível.

Passo 4

Definimos então o corpo
K = F3[x] / (x^3 + 2x + 1)
Denote alpha a classe de x em K. Pelo modo de construção, alpha^3 + 2alpha + 1 = 0 em K.

Passo 5

Os elementos de K são todas as classes
a + balpha + calpha^2,
com a,b,c in F3. Como há 3 escolhas para cada coeficiente, o número total de elementos é 3^3 = 27, garantindo que K é um corpo com exatamente 27 elementos.

Resposta

O corpo F3[x]/(x^3 + 2x + 1), cujos elementos são classes de polinômios de grau ≤2, forma um corpo com 27 elementos.

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