b) Construa um corpo com exatamente 27 elementos
Passo 1
O problema pede para construir um corpo com exatamente 27 elementos. Isso envolve teoria de corpos finitos: sabemos que todo corpo finito tem ordem p^n, onde p é primo e n ≥ 1, e que esse corpo pode ser obtido como um quociente de ,$\mathbb{F}_p[x]$ por um polinômio irreducível de grau n.
Passo 2
Observando que 27 = 3^3, concluímos que devemos trabalhar sobre ,
\mathbb{F}_3[x]$.
Passo 3
Precisamos encontrar um polinômio monico de grau 3 em ,
\mathbb{F}_3$. Experimente o polinômio
Testando em 0, 1 e 2:
-
-
-
Logo,\mathbb{F}_3$ e, por ser de grau 3, é irreducível.
Passo 4
Definimos então o corpo
Denote
a classe de
em
. Pelo modo de construção,
em
.
Passo 5
Os elementos de
são todas as classes
com
. Como há 3 escolhas para cada coeficiente, o número total de elementos é
, garantindo que
é um corpo com exatamente 27 elementos.
Resposta
O corpo
, cujos elementos são classes de polinômios de grau ≤2, forma um corpo com 27 elementos.