Considere o limite
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A que valor tende o limite à medida que
se aproxima de 0 ao longo do eixo imaginário?
A que valor tende o limite à medida que
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é o problema. A gente tem que calcular o limite:
Aqui, $ z $ é um número complexo, e $ \operatorname{Re}(z) $ representa a parte real de $ z $, enquanto $ \operatorname{Im}(z) $ é a parte imaginária. A questão quer saber para qual valor esse limite tende quando $ z $ se aproxima de 0, mas fazendo isso especificamente ao longo do eixo imaginário. Para resolver isso, vamos precisar entender como números complexos funcionam e como calcular limites quando nos aproximamos de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo $ z $ pode ser escrito na forma:
onde $ x = \operatorname{Re}(z) $ é a parte real e $ y = \operatorname{Im}(z) $ é a parte imaginária. No nosso caso, queremos que $ z $ se aproxime de 0 ao longo do eixo imaginário. Isso significa que estamos movendo $ z $ apenas na direção imaginária, ou seja, $ x = 0 $ e $ y $ vai se aproximando de 0.
Passo 3
Com $ x = 0 $, a expressão do limite fica assim:
Aqui, $ \operatorname{Re}(z) = 0 $ porque estamos no eixo imaginário.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com a fração $ \frac{0}{y} $ quando $ y $ se aproxima de 0. Qualquer número dividido por outro número que se aproxima de zero, desde que o numerador seja zero, o resultado será sempre zero. Portanto:
Resposta
O limite tende a 0 quando $ z $ se aproxima de 0 ao longo do eixo imaginário.